Опытная эксплуатация ис. Опытная эксплуатация. Сопровождение и развитие системы

Ариабхата
Кириллическая
Греческая Грузинская
Эфиопская
Еврейская
Акшара-санкхья Другие Вавилонская
Египетская
Этрусская
Римская
Дунайская Аттическая
Кипу
Майяская
Эгейская
Символы КППУ , , 4, 5, 6, , , , , , Нега-позиционная Симметричная Фибоначчиева Единичная (унарная)

Двоичная запись чисел

В двоичной системе счисления числа записываются с помощью двух символов (0 и 1 ). Чтобы не путать, в какой системе счисления записано число, его снабжают указателем справа внизу. Например, число в десятичной системе 5 10 , в двоичной 101 2 . Иногда двоичное число обозначают префиксом 0b или символом & (амперсанд) , например 0b101 или соответственно &101 .

В двоичной системе счисления (как и в других системах счисления, кроме десятичной) знаки читаются по одному. Например, число 101 2 произносится «один ноль один».

Натуральные числа

Натуральное число, записываемое в двоичной системе счисления как (a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0) 2 {\displaystyle (a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0})_{2}} , имеет значение:

(a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0) 2 = ∑ k = 0 n − 1 a k 2 k , {\displaystyle (a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0})_{2}=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}2^{k},}

Отрицательные числа

Отрицательные двоичные числа обозначаются так же как и десятичные: знаком «−» перед числом. А именно, отрицательное целое число, записываемое в двоичной системе счисления (− a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0) 2 {\displaystyle (-a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0})_{2}} , имеет величину:

(− a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0) 2 = − ∑ k = 0 n − 1 a k 2 k . {\displaystyle (-a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0})_{2}=-\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}2^{k}.}

дополнительном коде .

Дробные числа

Дробное число, записываемое в двоичной системе счисления как (a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 , a − 1 a − 2 … a − (m − 1) a − m) 2 {\displaystyle (a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{-m})_{2}} , имеет величину:

(a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 , a − 1 a − 2 … a − (m − 1) a − m) 2 = ∑ k = − m n − 1 a k 2 k , {\displaystyle (a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{-m})_{2}=\sum _{k=-m}^{n-1}a_{k}2^{k},}

Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел

Таблица сложения

Пример сложения «столбиком» (десятичное выражение 14 10 + 5 10 = 19 10 в двоичном виде выглядит как 1110 2 + 101 2 = 10011 2):

Пример умножения «столбиком» (десятичное выражение 14 10 * 5 10 = 70 10 в двоичном виде выглядит как 1110 2 * 101 2 = 1000110 2):

Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два. Точка, которая стоит после 1, называется двоичной точкой.

Преобразование двоичных чисел в десятичные

Допустим, дано двоичное число 110001 2 . Для перевода в десятичное запишите его как сумму по разрядам следующим образом:

1 * 2 5 + 1 * 2 4 + 0 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 49

То же самое чуть иначе:

1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49

Можно записать это в виде таблицы следующим образом:

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
				1	1	0	0	0	1
				+32	+16	+0	+0	+0	+1

Двигайтесь справа налево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа. Таким образом, двоичное число 110001 2 равнозначно десятичному 49 10 .

Преобразование дробных двоичных чисел в десятичные

Нужно перевести число 1011010,101 2 в десятичную систему. Запишем это число следующим образом:

1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 1 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0 + 1 * 2 -1 + 0 * 2 -2 + 1 * 2 -3 = 90,625

То же самое чуть иначе:

1 * 64 + 0 * 32 + 1 * 16 + 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 0 * 1 + 1 * 0,5 + 0 * 0,25 + 1 * 0,125 = 90,625

Или по таблице:

64	32	16	8	4	2	1		0.5	0.25	0.125
1	0	1	1	0	1	0	,	1	0	1
+64	+0	+16	+8	+0	+2	+0		+0.5	+0	+0.125

Преобразование методом Горнера

Для того, чтобы преобразовывать числа из двоичной в десятичную систему данным методом, надо суммировать цифры слева направо, умножая ранее полученный результат на основу системы (в данном случае 2). Методом Горнера обычно переводят из двоичной в десятичную систему. Обратная операция затруднительна, так как требует навыков сложения и умножения в двоичной системе счисления.

Например, двоичное число 1011011 2 переводится в десятичную систему так:

0*2 + 1 = 1
1*2 + 0 = 2
2*2 + 1 = 5
5*2 + 1 = 11
11*2 + 0 = 22
22*2 + 1 = 45
45*2 + 1 = 91

То есть в десятичной системе это число будет записано как 91.

Перевод дробной части чисел методом Горнера

Цифры берутся из числа справа налево и делятся на основу системы счисления (2).

Например 0,1101 2

(0 + 1 )/2 = 0,5
(0,5 + 0 )/2 = 0,25
(0,25 + 1 )/2 = 0,625
(0,625 + 1 )/2 = 0,8125

Ответ: 0,1101 2 = 0,8125 10

Преобразование десятичных чисел в двоичные

Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться следующей процедурой:

19/2 = 9 с остатком 1
9/2 = 4 c остатком 1
4/2 = 2 без остатка 0
2/2 = 1 без остатка 0
1/2 = 0 с остатком 1

Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем остаток в конец двоичной записи. Продолжаем деление до тех пор, пока в частном не будет 0. Результат записываем справа налево. То есть нижняя цифра (1) будет самой левой и т.д. В результате получаем число 19 в двоичной записи: 10011 .

Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные

Если в исходном числе есть целая часть, то она преобразуется отдельно от дробной. Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:

• Дробь умножается на основание двоичной системы счисления (2);
• В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве старшего разряда числа в двоичной системе счисления;
• Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются над дробной частью произведения.

Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.

Перевод целой части дает 206 10 =11001110 2 по ранее описанным алгоритмам. Дробную часть 0,116 умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа:

0,116 2 = 0 ,232
0,232 2 = 0 ,464
0,464 2 = 0 ,928
0,928 2 = 1 ,856
0,856 2 = 1 ,712
0,712 2 = 1 ,424
0,424 2 = 0 ,848
0,848 2 = 1 ,696
0,696 2 = 1 ,392
0,392 2 = 0 ,784
и т. д.

Таким образом 0,116 10 ≈ 0,0001110110 2

Получим: 206,116 10 ≈ 11001110,0001110110 2

Применения

В цифровых устройствах

Двоичная система используется в цифровых устройствах , поскольку является наиболее простой и соответствует требованиям:

• Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы, оперирующие этими значениями. В частности, две цифры двоичной системы счисления могут быть легко представлены многими физическими явлениями: есть ток (ток больше пороговой величины) - нет тока (ток меньше пороговой величины), индукция магнитного поля больше пороговой величины или нет (индукция магнитного поля меньше пороговой величины) и т. д.
• Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать. Например, чтобы закодировать три состояния через величину напряжения, тока или индукции магнитного поля, потребуется ввести два пороговых значения и два компаратора ,

В вычислительной технике широко используется запись отрицательных двоичных чисел в дополнительном коде . Например, число −5 10 может быть записано как −101 2 но в 32-битном компьютере будет храниться как 2 .

В английской системе мер

При указании линейных размеров в дюймах по традиции используют двоичные дроби, а не десятичные, например: 5¾″, 7 15 / 16 ″, 3 11 / 32 ″ и т. д.

Обобщения

Двоичная система счисления является комбинацией двоичной системы кодирования и показательной весовой функции с основанием равным 2. Следует отметить, что число может быть записано в двоичном коде , а система счисления при этом может быть не двоичной, а с другим основанием. Пример: двоично-десятичное кодирование , в котором десятичные цифры записываются в двоичном виде, а система счисления - десятичная.

История

• Полный набор из 8 триграмм и 64 гексаграмм , аналог 3-битных и 6-битных цифр, был известен в древнем Китае в классических текстах книги Перемен . Порядок гексаграмм в книге Перемен , расположенных в соответствии со значениями соответствующих двоичных цифр (от 0 до 63), и метод их получения был разработан китайским учёным и философом Шао Юн в XI веке . Однако нет доказательств, свидетельствующих о том, что Шао Юн понимал правила двоичной арифметики, располагая двухсимвольные кортежи в лексикографическом порядке .

• Наборы, представляющие собой комбинации двоичных цифр, использовались африканцами в традиционных гаданиях (таких как Ифа) наряду со средневековой геомантией .

• В 1854 году английский математик Джордж Буль опубликовал знаковую работу, описывающую алгебраические системы применительно к логике , которая в настоящее время известна как Булева алгебра или алгебра логики . Его логическому исчислению было суждено сыграть важную роль в разработке современных цифровых электронных схем.

• В 1937 году Клод Шеннон представил к защите кандидатскую диссертацию Символический анализ релейных и переключательных схем в , в которой булева алгебра и двоичная арифметика были использованы применительно к электронным реле и переключателям. На диссертации Шеннона по существу основана вся современная цифровая техника .

• В ноябре 1937 года Джордж Штибиц , впоследствии работавший в Bell Labs , создал на базе реле компьютер «Model K» (от англ. «K itchen», кухня, где производилась сборка), который выполнял двоичное сложение. В конце 1938 года Bell Labs развернула исследовательскую программу во главе со Штибицом. Созданный под его руководством компьютер, завершённый 8 января 1940 года, умел выполнять операции с комплексными числами . Во время демонстрации на конференции American Mathematical Society в Дартмутском колледже 11 сентября 1940 года Штибиц продемонстрировал возможность посылки команд удалённому калькулятору комплексных чисел по телефонной линии с использованием телетайпа . Это была первая попытка использования удалённой вычислительной машины посредством телефонной линии. Среди участников конференции, бывших свидетелями демонстрации, были Джон фон Нейман , Джон Мокли и Норберт Винер , впоследствии писавшие об этом в своих мемуарах.

См. также

Примечания

1. Попова Ольга Владимировна. Учебное пособие по информатике (неопр.) .
2. Sanchez, Julio & Canton, Maria P. (2007), Microcontroller programming: the microchip PIC , Boca Raton, Florida: CRC Press, с. 37, ISBN 0-8493-7189-9

Система счисления – способ представления чисел, опирающийся на некоторое число п знаков, называемых цифрами. Число, равное количеству знаков п, употребляемых для обозначения количества единиц каждого разряда, называется основанием системы счисления.

Происхождение наиболее распространенной десятичной системы связано с пальцевым счетом. Существовавшая в Древнем Вавилоне шестидесятиричная система осталась в делении часа и градуса угла на 60 минут и минут – на 60 секунд. В России до XVIII в. существовала десятичная система счисления, основанная на буквах алфавита а, в, г... с чертой над буквой (от греческих букв: альфа, бета, гамма).

Современная десятичная система основана на десяти цифрах, начертание которых 0, 1, 2, ..., 9 сформировалось в Индии к V в. н.э. и пришло в Европу с арабскими рукописями ("арабские цифры"). Двоичная система использует две цифры: 0 и 1. Шестнадцатиричная система использует 16 символов: 0, 1, 2, ..., 29, А, В, С, D, E, F. Эти системы счисления называются позиционными , так как значение каждой цифры числа определяется по ее месту (позиции, разряду) в ряду чисел, составляющих данное число. Позиция отсчитывается справа налево; так, в десятичной системе: нулевой разряд – разряд единиц, первый разряд – разряд десятков, второй разряд – разряд сотен, потом тысячи и т.д.

В непозиционных системах счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе.

Например, 1 – I, 2 – II, 5 – IIIII.

Римская система счисления (I, II, III, IV, V) является смешанной, так как значение каждой цифры частично зависит от ее места (позиции) в числе. Например, IV – это 4 = 5-1, а VI – это 6 = 5 + 1.

В десятичной системе каждый разряд может показать одно из 10 значений (цифру 0, 1, 2, ..., 9). Чтобы в десятичной системе записать следующее за девяткой число, добавляют слева новый разряд и ставят в его позицию цифру 1, после нее ноль и получается 10, т.е. десять. Два разряда в десятичной системе позволяют записать сто чисел: от 0 до 99, потом придется дописывать новый разряд для числа 100.

Цифры десятичного числа определяют число по основанию системы счисления и по нумерации разрядов с помощью, например, такой формулы: 256 = 2 102 + 5 101 + 6 100, где значение цифры умножается на 10 в степени "разряд цифры". В числе 256 цифра 2 стоит во втором разряде и означает две сотни, поэтому умножается на 102; цифра 5 стоит в первом разряде, означает 5 десятков и умножается на 101; цифра 6 стоит в нулевом разряде и умножается на 1, т.е. на 100.

Двоичная система счисления

В двоичной системе числом в один разряд можно записать только два значения: 0 или 1, и все – возможности разряда кончились. Два разряда в двоичном числе позволяют записать четыре разных числа, а три разряда – восемь чисел. Увеличивая разрядность цифр в числе до N разрядов, можно в двоичной системе описать 2 х разных чисел, сосчитать 2 х объектов.

Пусть в системе счисления с основанием р записано четырехзначное число х , цифры в котором обозначим знаками с индексом внизу α 3α 2α 1α 0. Здесь а 0 – знак (цифра) для нулевого разряда, a 1 – для первого разряда и т.д.

Число можно представить выражением

х = а 3 р 3 + а 2 р 2 + а 1 р 1 + а 0 р 0.

Сравним запись десятичного числа 1946 = 1 103 + 9 102 + 4 101 + 6 100 и двоичного 1010 = 1 23 + 0 22 + 1 21 + 0 20. Показатель степени, в которую необходимо возвести основание р исходной системы счисления, совпадает с номером соответствующей позиции.

Так как компьютер использует двоичную систему счисления, в нем важную роль играют и часто упоминаются числа, служащие степенью числа 2, например: 8 (23), 64 (26), 128 (27), 256 (28). Самое большое 8-разрядное число с восемью двоичными единицами 11111111 = 1 27 + 1 26 + 1 25 + 1 24 + 1 23 + 1 22 + 1 21 + 1 20 равно десятичному числу 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255. Вместе с нулем получается как раз 256 целых чисел, что равно 28.

Шестнадцатиричная система – система чисел по основанию 16, использующая цифры от 0 до 9 и прописные или строчные буквы латинского алфавита от А (эквивалент десятичного числа 10) до F (эквивалент десятичного числа 15). То есть в шестнадцатиричной системе счисления знаки-цифры – 0, 1, 2, 9, А, В, С, D, E, F. Число в двоичной системе разбивается на группы по четыре двоичных знака. Одна группа дает 24 = 16 комбинаций. Десятичное число 396 в двоичной системе обозначается как 110001100, а в шестнадцатиричной системе как 18С. Соответствие десятичных, двоичных и шестнадцатиричных чисел показано в табл. 1.1.

Шестнадцатиричная система счисления применяется для обозначений адресов ячеек оперативной памяти компьютера, оттенков цвета и дает не такие длинные ряды цифр,

Таблица 1.1

Соответствие чисел: десятичные, двоичные, шестнадцатиричные

Десятичное число	Двоичное	Шестнадцатиричное число	Десятичное число	Двоичное	Шестнадцатиричное число

как давала бы двоичная система. Иногда после шестнадцатиричного числа пишут букву h (hexamal). Например, 321 /г соответствует десятичному 801 = 3 162 + 2 161 + 1 160, a FCh – это десятичное число 252 = 15 161 + 12 160.

Двоичная система счисления сегодня используется практически во всех цифровых устройствах. Компьютеры, контроллеры и другие вычислительные устройства производят вычисления именно в двоичной системе. Цифровые устройства записи и воспроизведения звука, фото и видео хранят и обрабатывают сигналы в двоичной системе счисления. Передача информации по цифровым каналам связи также использует модель двоичной системы счисления.

Система носит такое название, потому что основанием системы является число два (2 ) или в двоичной системе 10 2 - это значит что для изображения чисел используется только две цифры "0" и "1". Двоечка записанная справа внизу от числа, здесь и далее будет обозначать основание системы счисления. Для десятичной системы основание обычно не указывают.

Ноль - 0 ;
Один - 1 ;

А что делать дальше? Все цифры кончились. Как же изобразить число два? В десятичной системе, в подобной ситуации (когда закончились цифры), мы вводили понятие десятка, здесь же мы вынуждены ввести понятие "двойка" и скажем, что два - это одна двойка и ноль единиц. А это уже можно и записать как - "10 2 ".

Итак, Два - 10 2 (одна двойка, ноль единиц)
Три - 11 2 (одна двойка, одна единица)

Четыре - 100 2 (одна четверка, ноль двоек, ноль единиц)
Пять - 101 2 (одна четверка, ноль двоек, одна единица)
Шесть - 110 2 (одна четверка, одна двойка, ноль единиц)
Семь - 111 2 (одна четверка, одна двойка, одна единица)

Возможности трех разрядов исчерпались, вводим более крупную единицу счета - восьмерку (осваиваем новый разряд).

Восемь - 1000 2 (одна восьмерка, ноль четверок, ноль двоек, ноль единиц)
Девять - 1001 2 (одна восьмерка, ноль четверок, ноль двоек, одна единица)
Десять - 1010 2 (одна восьмерка, ноль четверок, одна двойка, ноль единиц)
...
и так далее...
...

Всегда, когда возможности задейсвованых разрядов, для отображения следующего числа, исчерпываются, мы вводим более крупные единицы счета, т.е. задействуем следующий разряд.

Рассмотрим число 1011 2 записанное в двоичной системе счисления. Про него можно сказать, что оно содержит: одну восьмерку, ноль четверок, одну двойку и одну единицу. И получить его значение через входящие в него цифры можно следующим образом.

1011 2 = 1 *8+0 *4+1 *2+1 *1, здесь и далее знак * (звездочка) означает умножение.

Но ряд чисел 8, 4, 2, 1 есть не что иное, как целые степени числа два (основания системы счисления) и поэтому можно записать:

1011 2 = 1 *2 3 +0 *2 2 +2 *2 1 +2 *2 0

Подобным образом для двоичной дроби (дробного числа) например: 0.101 2 (пять восьмых), про него можно сказать, что оно содержит: одну вторую, ноль четвертых и одну восьмую долю. И его значение можно вычислить следующим образом:

0.101 2 = 1 *(1/2) + 0 *(1/4) + 1 *(1/8)

И здесь ряд чисел 1/2; 1/4 и 1/8 есть не что иное, как целые степени числа два и мы также можем записать:

0.101 2 = 1 *2 -1 + 0 *2 -2 + 1 *2 -3

Для смешанного числа 110.101 аналогичным образом можем записать:

110.101 = 1 *2 2 +1 *2 1 +0 *2 0 +1 *2 -1 +0 *2 -2 +1 *2 -3

Давайте пронумеруем разряды целой части двоичного числа, справа налево, как 0,1,2…n (нумерация начинается с нуля!). А разряды дробной части, слева направо, как -1,-2,-3…-m. Тогда значение некоторого двоичного числа может быть вычислено по формуле:

N = d n 2 n +d n-1 2 n-1 +…+d 1 2 1 +d 0 2 0 +d -1 2 -1 +d -2 2 -2 +…+d -(m-1) 2 -(m-1) +d -m 2 -m

Где: n - количество разрядов в целой части числа минус единица;
m - количество разрядов в дробной части числа
d i - цифра стоящая в i -м разряде

Эта формула называется формулой разложения двоичного числа, т.е. числа записанного в двоичной системе счисления. Но если в этой формуле число два заменить на некоторое абстрактное q , то мы получим формулу разложения для числа записанного в q-й системе счисления:

N = d n q n +d n-1 q n-1 +…+d 1 q 1 +d 0 q 0 +d -1 q -1 +d -2 q -2 +…+d -(m-1) q -(m-1) +d -m q -m

С помощью этой формулы вы всегда сможете вычислить значение не только двоичного числа, но и числа записанного в любой другой позиционной системе счислени. О других системах счисления рекомендуем почитать следующие статьи.

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

✪ Зачем нужны системы счисления: двоичная и другие

✪ Как запоминает и считает компьютер. Системы счисления и кодирования данных

✪ Системы счисления: Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд»

✪ Основы систем счисления

✪ Системы счисления. Двоичная система счисления - 9 класс

Субтитры

Двоичная запись чисел

В двоичной системе счисления числа записываются с помощью двух символов (0 и 1 ). Чтобы не путать, в какой системе счисления записано число, его снабжают указателем справа внизу. Например, число в десятичной системе 5 10 , в двоичной 101 2 . Иногда двоичное число обозначают префиксом 0b или символом & (амперсанд) , например 0b101 или соответственно &101 .

В двоичной системе счисления (как и в других системах счисления, кроме десятичной) знаки читаются по одному. Например, число 101 2 произносится «один ноль один».

Натуральные числа

Натуральное число, записываемое в двоичной системе счисления как (a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0) 2 {\displaystyle (a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0})_{2}} , имеет значение:

(a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0) 2 = ∑ k = 0 n − 1 a k 2 k , {\displaystyle (a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0})_{2}=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}2^{k},}

Отрицательные числа

Отрицательные двоичные числа обозначаются так же как и десятичные: знаком «−» перед числом. А именно, отрицательное целое число, записываемое в двоичной системе счисления (− a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0) 2 {\displaystyle (-a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0})_{2}} , имеет величину:

(− a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0) 2 = − ∑ k = 0 n − 1 a k 2 k . {\displaystyle (-a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0})_{2}=-\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}2^{k}.}

дополнительном коде .

Дробные числа

Дробное число, записываемое в двоичной системе счисления как (a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 , a − 1 a − 2 … a − (m − 1) a − m) 2 {\displaystyle (a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{-m})_{2}} , имеет величину:

(a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 , a − 1 a − 2 … a − (m − 1) a − m) 2 = ∑ k = − m n − 1 a k 2 k , {\displaystyle (a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{-m})_{2}=\sum _{k=-m}^{n-1}a_{k}2^{k},}

Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел

Таблица сложения

Пример сложения «столбиком» (14 10 + 5 10 = 19 10 или 1110 2 + 101 2 = 10011 2):

Пример умножения «столбиком» (14 10 * 5 10 = 70 10 или 1110 2 * 101 2 = 1000110 2):

×				1	1	1	0
					1	0	1
+				1	1	1	0
		1	1	1	0
	1	0	0	0	1	1	0

Преобразование чисел

Для преобразования из двоичной системы в десятичную используют следующую таблицу степеней основания 2:

1024

512

256

128

64

32

16

8

4

2

1

Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два. Точка, которая стоит после 1, называется двоичной точкой.

Преобразование двоичных чисел в десятичные

Допустим, дано двоичное число 110001 2 . Для перевода в десятичное запишите его как сумму по разрядам следующим образом:

1 * 2 5 + 1 * 2 4 + 0 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 49

То же самое чуть иначе:

1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49

Можно записать это в виде таблицы следующим образом:

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
				1	1	0	0	0	1
				+32	+16	+0	+0	+0	+1

Двигайтесь справа налево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа. Таким образом, двоичное число 110001 2 равнозначно десятичному 49 10 .

Преобразование дробных двоичных чисел в десятичные

Нужно перевести число 1011010,101 2 в десятичную систему. Запишем это число следующим образом:

1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 1 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0 + 1 * 2 -1 + 0 * 2 -2 + 1 * 2 -3 = 90,625

То же самое чуть иначе:

1 * 64 + 0 * 32 + 1 * 16 + 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 0 * 1 + 1 * 0,5 + 0 * 0,25 + 1 * 0,125 = 90,625

Или по таблице:

64	32	16	8	4	2	1		0.5	0.25	0.125
1	0	1	1	0	1	0	,	1	0	1
+64	+0	+16	+8	+0	+2	+0		+0.5	+0	+0.125

Преобразование методом Горнера

Для того, чтобы преобразовывать числа из двоичной в десятичную систему данным методом, надо суммировать цифры слева направо, умножая ранее полученный результат на основу системы (в данном случае 2). Методом Горнера обычно переводят из двоичной в десятичную систему. Обратная операция затруднительна, т.к. требует навыков сложения и умножения в двоичной системе счисления.

Например, двоичное число 1011011 2 переводится в десятичную систему так:

0*2 + 1 = 1
1*2 + 0 = 2
2*2 + 1 = 5
5*2 + 1 = 11
11*2 + 0 = 22
22*2 + 1 = 45
45*2 + 1 = 91

То есть в десятичной системе это число будет записано как 91.

Перевод дробной части чисел методом Горнера

Цифры берутся из числа справа налево и делятся на основу системы счисления (2).

Например 0,1101 2

(0 + 1 )/2 = 0,5
(0,5 + 0 )/2 = 0,25
(0,25 + 1 )/2 = 0,625
(0,625 + 1 )/2 = 0,8125

Ответ: 0,1101 2 = 0,8125 10

Преобразование десятичных чисел в двоичные

Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться следующей процедурой:

19 /2 = 9 с остатком 1
9 /2 = 4 c остатком 1
4 /2 = 2 без остатка 0
2 /2 = 1 без остатка 0
1 /2 = 0 с остатком 1

Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем остаток в конец двоичной записи. Продолжаем деление до тех пор, пока в частном не будет 0. Результат записываем справа налево. То есть нижняя цифра (1) будет самой левой и т.д. В результате получаем число 19 в двоичной записи: 10011 .

Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные

Если в исходном числе есть целая часть, то она преобразуется отдельно от дробной. Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:

• Дробь умножается на основание двоичной системы счисления (2);
• В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве старшего разряда числа в двоичной системе счисления;
• Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются над дробной частью произведения.

Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.

Перевод целой части дает 206 10 =11001110 2 по ранее описанным алгоритмам. Дробную часть 0,116 умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа:

0,116 2 = 0 ,232
0,232 2 = 0 ,464
0,464 2 = 0 ,928
0,928 2 = 1 ,856
0,856 2 = 1 ,712
0,712 2 = 1 ,424
0,424 2 = 0 ,848
0,848 2 = 1 ,696
0,696 2 = 1 ,392
0,392 2 = 0 ,784
и т. д.

Таким образом 0,116 10 ≈ 0,0001110110 2

Получим: 206,116 10 ≈ 11001110,0001110110 2

Применения

В цифровых устройствах

Двоичная система используется в цифровых устройствах , поскольку является наиболее простой и соответствует требованиям:

• Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы, оперирующие этими значениями. В частности, две цифры двоичной системы счисления могут быть легко представлены многими физическими явлениями: есть ток (ток больше пороговой величины) - нет тока (ток меньше пороговой величины), индукция магнитного поля больше пороговой величины или нет (индукция магнитного поля меньше пороговой величины) и т. д.
• Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать. Например, чтобы закодировать три состояния через величину напряжения, тока или индукции магнитного поля, потребуется ввести два пороговых значения и два компаратора , что не будет способствовать помехоустойчивости и надёжности хранения информации. [ ]
• Двоичная арифметика является довольно простой. Простыми являются таблицы сложения и умножения - основных действий над числами.

В цифровой электронике одному двоичному разряду в двоичной системе счисления соответствует (очевидно) один двоичный разряд двоичного регистра , то есть двоичный триггер с двумя состояниями (0,1).

В вычислительной технике широко используется запись отрицательных двоичных чисел в дополнительном коде . Например, число −5 10 может быть записано как −101 2 но в 32-битном компьютере будет храниться как 2 .

В английской системе мер

При указании линейных размеров в дюймах по традиции используют двоичные дроби, а не десятичные, например: 5¾″, 7 15 / 16 ″, 3 11 / 32 ″ и т. д.

Обобщения

Двоичная система счисления является комбинацией двоичной системы кодирования и показательной весовой функции с основанием равным 2. Следует отметить, что число может быть записано в двоичном коде , а система счисления при этом может быть не двоичной, а с другим основанием. Пример: двоично-десятичное кодирование , в котором десятичные цифры записываются в двоичном виде, а система счисления - десятичная.

История

• Полный набор из 8 триграмм и 64 гексаграмм , аналог 3-битных и 6-битных цифр, был известен в древнем Китае в классических текстах книги Перемен . Порядок гексаграмм в книге Перемен , расположенных в соответствии со значениями соответствующих двоичных цифр (от 0 до 63), и метод их получения был разработан китайским учёным и философом Шао Юн в XI веке . Однако нет доказательств, свидетельствующих о том, что Шао Юн понимал правила двоичной арифметики, располагая двухсимвольные кортежи в лексикографическом порядке .

• Наборы, представляющие собой комбинации двоичных цифр, использовались африканцами в традиционных гаданиях (таких как Ифа) наряду со средневековой геомантией .

• В 1854 году английский математик Джордж Буль опубликовал знаковую работу, описывающую алгебраические системы применительно к логике , которая в настоящее время известна как Булева алгебра или алгебра логики . Его логическому исчислению было суждено сыграть важную роль в разработке современных цифровых электронных схем.

• В 1937 году Клод Шеннон представил к защите кандидатскую диссертацию Символический анализ релейных и переключательных схем в , в которой булева алгебра и двоичная арифметика были использованы применительно к электронным реле и переключателям. На диссертации Шеннона по существу основана вся современная цифровая техника .

• В ноябре 1937 года Джордж Штибиц , впоследствии работавший в Bell Labs , создал на базе реле компьютер «Model K» (от англ. «K itchen», кухня, где производилась сборка), который выполнял двоичное сложение. В конце 1938 года Bell Labs развернула исследовательскую программу во главе со Штибицом. Созданный под его руководством компьютер, завершённый 8 января 1940 года, умел выполнять операции с комплексными числами . Во время демонстрации на конференции American Mathematical Society в Дартмутском колледже 11 сентября 1940 года Штибиц продемонстрировал возможность посылки команд удалённому калькулятору комплексных чисел по телефонной линии с использованием телетайпа . Это была первая попытка использования удалённой вычислительной машины посредством телефонной линии. Среди участников конференции, бывших свидетелями демонстрации, были