Ako nájsť minimálny a maximálny bod funkcie: vlastnosti, metódy a príklady. Kritické body funkcie Nájdite negatívny maximálny bod funkcie

Jednoduchý algoritmus na hľadanie extrémov.

• Nájdite deriváciu funkcie
• Vyrovnajte túto deriváciu s nulou
• Nájdite hodnoty premennej výsledného výrazu (hodnoty premennej, pri ktorej je derivácia prevedená na nulu).
• S týmito hodnotami rozdeľujeme súradnicovú čiaru na intervaly (v tomto prípade nezabudnite na body zlomu, ktoré je potrebné použiť aj na čiaru), všetky tieto body sa nazývajú body „podozrivé“ pre extrém.
• Vypočítame, v ktorom z týchto intervalov bude derivácia kladná a v ktorej záporná. Aby ste to urobili, musíte hodnotu z intervalu nahradiť deriváciou.

Z bodov podozrivých na extrémy je potrebné presne nájsť. Za týmto účelom sa pozrieme na naše intervaly na súradnicovej čiare. Ak sa pri prechode cez nejaký bod znamienko derivátu zmení z plus na mínus, potom tento bod bude maximum, a ak od mínus do plus, potom minimum.

Ak chcete nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie, musíte vypočítať hodnotu funkcie na koncoch segmentu a v extrémnych bodoch. Potom vyberte najvyššiu a najnižšiu hodnotu.

Uvažujme o príklade
Nájdite derivát a prirovnajte ho k nule:

Získané hodnoty premenných sa aplikujú na súradnicovú čiaru a v každom z intervalov vypočítame znamienko derivácie. No, napríklad pre prvý vezmeme-2 , potom bude derivát-0,24 , za druhé berieme0 , potom bude derivát2 , a za tretie berieme2 , potom bude derivát-0,24. Zrušili sme príslušné značky.

Vidíme, že pri prechode bodom -1 derivácia zmení znamienko z mínus na plus, to znamená, že to bude minimálny bod a pri prechode 1 - od plus do mínus je to maximálny bod.

Táto časť obsahuje problémy zo skúšky z matematiky na témy súvisiace so štúdiom funkcií a ich derivátov. Konkrétne hovoríme o nájdení maximálnych a minimálnych hodnôt funkcií uvedených analyticky, to znamená podľa vzorca.

Maximálny bod (minimum ) funkcie r = f(X) zavolal hodnota argumentu x = a taký, že existuje susedstvo bodu a, kde f(X) f ( a) (f(X) > f(a) ) pre X ≠ a.

Maximálne (minimum ) sa nazýva funkcia jeho význam v extrémnom bode, t.j. rozsah f(a) .

Preto

• ak úloha obsahuje požiadavku na určenie extrémne body odpoveď by mala napísať nájdené význam X ,
• ak potrebujete špecifikovať samotné extrémy, potom sa musíš rozhodnúť význam r v týchto bodoch ich nahradením do vzorca funkcie r = f(X) .

Ohľadom najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v danom intervale , potom je možné ich dosiahnuť pre spojitú funkciu vo vnútri segmentu, ako aj na jeho koncoch. Grafické ilustrácie na túto tému môžu byť
Ak funkcia dosiahne najväčšiu (najmenšiu) hodnotu vo vnútornom bode segmentu, potom sa tento bod zhoduje s bodom zodpovedajúceho extrému. Na zodpovedanie takejto úlohy by ste mali porovnať hodnoty funkcie v extrémnych bodoch s hodnotami na koncoch segmentu. (Na vyriešenie tohto problému nie je v praxi potrebné určiť tvar extréma; stačí vypočítať hodnoty funkcie v kritických bodoch a na koncoch segmentu a porovnať ich navzájom. )

V roku 2020 má táto úloha číslo 12.

Problémy s nájdením extrémnych bodov funkcie.

Algoritmus na nájdenie extrémnych bodov.

1) Nájdite doménu funkcie.
2) Nájdite jeho derivát f "(X).
3) Nájdite body, v ktorých f "(X) neexistuje.
4) Nájdite body, v ktorých f "(X) = 0.
5) Na číselnom riadku označte oblasť definície funkcie a všetky body uvedené v odsekoch 3 a 4. Výsledkom sú intervaly definičnej oblasti, na ktorých si derivát zachováva konštantné znamienko.
6) Určte znamienko f "(X) pre každý interval. (Najčastejšie sa to robí nahradením hodnoty „pohodlia“ X z tohto intervalu do vzorca pre derivát získaný v časti 2.)
7) Určte oblasti zvýšenia a zníženia funkcie znakmi derivátu a vyvodte závery o prítomnosti alebo neprítomnosti extréma a jeho povahe v každom z kritických bodov.

Problém 1

r = (X+ 7) e 7 − X .

1) Funkcia je súčinom lineárnych a exponenciálnych funkcií, ktoré sú definované na celej skutočnej osi.
D(f) = (−∞;∞).

2) Deriváciu vypočítame pomocou pravidla diferenciácie súčinu a vzorcov pre deriváciu mocninovej a exponenciálnej funkcie.
y " = ((X+ 7) e 7 − X)" =
= (X+ 7) "· e 7 − X + (X+ 7) ( e 7 − X)" =
= (1 + 0) e 7 − X + (X+ 7) e 7 − X· (7 - X)" =
= e 7 − X + (X+ 7) e 7 - X(0 - 1) =
= e 7 − X − (X+ 7) e 7 − X .
Výpočet derivátu je úplný, ale na uľahčenie akcií v nasledujúcich odsekoch stojí za to ho previesť do najkompaktnejšej podoby.
e 7 − X − (X+ 7) e 7 − X = e 7 − X· (1 - X − 7) = −e 7 − X ·( X + 6).
Takže, r " = −e 7 − X ·( X + 6) .

3) Výraz - e 7 − X ·( X+ 6) je definovaný vo všetkých bodoch skutočnej osi.
Body kde y " neexistuje, nie.

4) Vyriešte rovnicu
−e 7 − X ·( X + 6) = 0.
e 7 − X≠ 0 pre akékoľvek hodnoty X,
(X+ 6) = 0 pre X = −6.

5) Predstavujeme „nekonečnú“ číselnú os, ktorá sa v našom prípade zhoduje s doménou funkcie. Označujeme na ňom jediný nájdený kritický bod X = −6.

6) Určte znaky derivácie na výsledných dvoch úsekoch osi.
Pre x x = −10 máme
y " = −e 7 − X ·( X + 6) = −e 7 + 10 (−10 + 6) = - e 17 (−4) = 4 e 17 ≈ 4 2,7 17> 0.
Pre x> −6 napríklad pre X= 7, máme
y " = −e 7 − X ·( X + 6) = −e 7 - 7 (7 + 6) = - e 0 13 = −1 13 = −13 Označte na osi znamienkom „+“ oblasť, kde y "> 0 a znak „-“, kde y "

7) V oblastiach, kde je derivácia kladná, sa funkcia zvyšuje a kde je derivácia záporná, funkcia klesá. Na obrázku umiestnime zodpovedajúce šípky. Šípky to ukazujú na bode X= −6, funkcia prechádza od zvyšovania k znižovaniu, čo znamená, že ide o požadovaný maximálny bod.

Odpoveď: −6

Teraz vyskúšajte svoje sily. Skúste najskôr problém vyriešiť sami, potom porovnajte odpoveď a potom môžete odhaliť moje riešenie. Ak vaše riešenie nie je rovnaké ako moje, nemusí to byť nutne nesprávne.

Pozor: Posilniť efekt výučby odpovede a riešenia sa načítajú oddelene pre každú úlohu postupným stlačením tlačidiel na žltom pozadí. (Keď je veľa úloh, tlačidlá sa môžu objaviť s oneskorením. Ak tlačidlá nie sú vôbec viditeľné, skontrolujte, či je váš prehliadač povolený JavaScript.)

Úloha 2

r = 4X- v ( X + 11) + 12.

Podľa definície logaritmu X+ 11> 0, preto D(f) = (−11;+∞).

y " = 4 − 1 ______ X + 11 = ______ 4X + 43 X + 11 .

Odvodené X≠ −11, ale táto hodnota je mimo rozsah funkcie, takže nejde o kritický bod.

y "= 0 pre 4 X + 43 = 0; X = −10,75.

y "(−10,9) = −0,6/0,1 = −6 y "(−10) = 3/1 = 3 > 0;

Následne X= −10,75 je minimálny bod funkcie.

Odpoveď: −10,75

Problém 3

Nájdite maximálny bod funkcie r = √16 − 4X − X 2 ___________ .

Podľa definície aritmetického koreňa 16 - 4 X − X 2 ≥ 0. Nateraz túto nerovnosť úplne nevyriešime. Všimnite si len, že ide o štvorcovú nerovnosť a vetvy zodpovedajúcej paraboly smerujú nadol. Možno dospieť k záveru, že štvorcový trinomiál bude mať v oblasti medzi svojimi koreňmi nezáporné hodnoty. D(f) = [X 1 ; X 2 ].

y " = 1 ____________ 2√16 − 4X − X 2 __________ (16 - 4 X − X 2)" = − X + 2 ___________ √16 − 4X − X 2 __________ .

y " neexistuje v bodoch, kde je menovateľ zlomku nula, t.j.
o 16 - 4 X − X 2 = 0. Tieto body sme už určili X 1 a X 2. Sú to okraje rozsahu funkcie.

y "= 0 pre X + 2 = 0, X = −2.

Voľba hodnôt X na kontrolu znakov derivátu na výsledných dvoch častiach. Nech je −3 a 0. Dbajme na to, aby sme neprekročili doménu definície funkcie, t.j. skutočnosť, že v týchto bodoch je nerovnosť pre radikálny výraz uspokojená. (Ak by sme nerovnosť ihneď dokončili do konca, potom by sa to nemuselo robiť. Body by sa vyberali podľa obrázku.)
16 − 4X − X 2 ≥ 0.
16 - 4 (−3) - (−3) 2 = 19 ≥ 0.
16 - 4 0 - 0 2 = 16 ≥ 0.
Určte znaky derivátu v týchto bodoch

y "(X) = − X + 2 ___________ √16 − 4X − X 2 __________ .

y "(−3) = − −3 + 2 _____ √19 __ = 1 ___ √19 __ > 0.

y "(0) = − 0 + 2 ____ √16 __ = − 2 _ 4 = −0,5

Následne X

Odpoveď: −2

Komentár: Pre niektorých môže byť jednoduchšie vyriešiť kvadratickú rovnicu hneď a nakresliť konečný výkres explicitne. To urobiť.
V tomto prípade X 1 = −2 − 2√5_ ≈ −6,5; X 2 = −2 + 2√5_ ≈ 2,5.

Problém 4

Nájdite minimálny bod funkcie r = (0,5 − X) cos X+ hriech X, patriace do intervalu (0, π / 2).

D(f) = (−∞;∞).

y " = (0,5 − X) "· Cos X + (0,5 − X) (Cos X) "+ (hriech X)" =
= −cos X − (0,5 − X) Hriech X+ cos X = (X- 0,5) hriech X

Body kde y " neexistuje, nie.

Riešenie rovnice y " = 0.
(X- 0,5) hriech X= 0 v prípadoch, kde
buď ( X − 0,5) = 0, X = 0,5;
buď hriech X = 0, X n = πn.

Kontrola príslušnosti k nájdeným hodnotám X daný interval.
Hodnoty, ktoré sú násobkami π, nepatria do intervalu. Pre n = 0, X 0 = 0, ale dané medzery sú intervaly a 0 do nich nie je zahrnutá. Ostatné hodnoty sú vyššie ako π / 2 alebo menej ako 0.
0/2 ≈ 1,57. Bodka X= 0,5 je zahrnutý v uvedenom intervale a je extrémnym bodom. Je jedinou kandidátkou na odpoveď. Mali by ste sa však uistiť, že je to presne minimum funkcie. Kontrola znakov derivátu v okolí X= 0,5 vezmite napríklad X= 0,45 a X = 0,55 .
y "(0,45) = (0,45 - 0,5) sin0,45 = -0,05sin 0,45 y "(0,45) = (0,55 - 0,5) sin0,55 = 0,05 sin 0,55> 0
Naľavo od bodu 0,5 sa teda funkcia znižuje a napravo sa zvyšuje. Bod je minimálny bod.

Odpoveď: 0,5

Komentár: sin0,45 a sin0,55 sú pozitívne, pretože skúmaný interval zodpovedá prvej štvrtine trigonometrického kruhu.

Problémy s hľadaním extrémov funkcie.

1) Nájdite extrémne body funkcie a určte ich charakter rovnakým spôsobom ako vo vyššie uvedených problémoch.
2) Hodnoty funkcie určíme v bodoch maxima alebo minima v súlade s otázkou problému.
3) Ak je v oblasti funkcie niekoľko maximálnych (minimálnych) bodov, potom sa maximá (minimá) nazývajú lokálne a najväčšie (najmenšie) sa nazýva globálne maximum (minimum) alebo najväčšia (najmenšia) hodnota funkcia. Ešte raz si prečítajte otázku problému a vyberte požadovanú.

Problém 5

r = √5 − 4X − X 2 _________ .

Prvá časť riešenia sa úplne zhoduje s riešením problému 3.

5 − 4X − X 2 ≥ 0. D(f) = [X 1 ; X 2]. Tu X 1 = −5; X 2 = 1.

y " = − X + 2 ___________ √5 − 4X − X 2 __________ .

y " neexistuje v bodoch −5 a 1.

y "= 0 pre X + 2 = 0, X = −2.

y "(−3) = 1 __ √8_ > 0; y "(0) = − 2 __ √5_

Následne X= −2 maximálny bod funkcie.

V tomto bode určite hodnotu funkcie
r(X) = √5 − 4X − X 2 __________
r(−2) = √5 - 4 (−2) - (−2) 2 _______________ = √9_ = 3.
Šípky na obrázku ukazujú, že maximum v celej oblasti funkcie je jedinečné; získaná hodnota y (−2) = 3 bude preto najväčšou hodnotou funkcie.

Odpoveď: 3

Problém 6

Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie r= log 3 ( X 2 − 6X + 10) + 2.

Podľa definície logaritmu X 2 − 6X+ 10> 0. Diskriminant tohto štvorcového trojčlenu D= 36 - 40 koeficient pri X 2 sa rovná 1> 0, preto sú všetky jeho hodnoty kladné. Rozsah funkcií D(f) = (−∞;+∞).

y " = 1 ______________ (X 2 − 6X+ 10) ln3·( X 2 − 6X + 10)"+ 0 = ______________ 2X − 6 (X 2 − 6X+ 10) ln3.

Menovateľ tohto zlomku> 0 (ln3> 1, pretože 3> e ≈ 2,7), preto body, kde y " neexistuje, nie.

y "= 0, ak 2 X − 6 = 0; X = 3.

Nájdený extrémny bod je jediný v oblasti definície funkcie; rozdeľuje ho na dve časti a pre X x> 3 y "> 0, čo znamená, že toto je bod globálneho minima.

V tomto mieste nájdite hodnotu funkcie
r(3) = denník 3 ( X 2 − 6X+ 10) + 2 = log 3 (3 2 - 6 3 + 10) + 2 = log 3 1 + 2 = 0 + 2 = 2.
Toto je najmenšia hodnota funkcie v celej doméne.

Odpoveď: 2

Úlohy na určenie najväčšej (najmenšej) hodnoty funkcie v segmente.

Nepretržitá funkcia na segmente dosahuje svoje najmenšie a najväčšie hodnoty buď vo vnútorných bodoch intervalu, alebo na jeho koncoch. Na vyriešenie problémov tejto časti preto stačí určiť hodnoty funkcie v extrémnych bodoch a porovnať ich s jej hodnotami na koncoch segmentu. Nie je potrebné identifikovať typ extrému.

Ak nie je splnená aspoň jedna z týchto dvoch podmienok - funkcia sa ukáže byť nespojitá alebo je ako interval určený interval (polovičný interval), bude potrebná úplná analýza správania sa funkcie a jej derivácie, a nie skutočnosť, že odpoveď bude existovať. Na skúške ešte neboli nájdené problémy s tak komplikovanými podmienkami a tých, ktorých to jednoducho zaujíma, môže nasledovať odkaz a

Problém 7

Nájdite najväčšiu funkčnú hodnotu r = X 3 + 2X 2 + X + 3 na segmente [−4; −1].

D(f) = (−∞;+∞).
y " = 3X 2 + 4X + 1.
Táto funkcia je nepretržitá v celej doméne.
Body kde y " neexistuje, nie.
Riešenie rovnice y " = 0: 3X 2 + 4X + 1 = 0
Diskriminačný D= 16 - 12 = 4. Korene X 1,2 = −4 ± 2 ______ 6, X 1 = −1/3; X 2 = −1.

Nájdite hodnoty funkcie v týchto bodoch a na okrajoch segmentu
r(X) = X 3 + 2X 2 + X + 3;
r(−4) = (−4) 3 + 2 (−4) 2 - 4 + 3 = −64 + 2 16 - 4 + 3 = −33;
r(−1/3) = (−1/3) 3 + 2 (−1/3) 2 - 1/3 + 3 = −1/27 + 2 1/9 −1/3 + 3 = 2 23 __ 27 ;
r(−1) = (−1) 3 + 2 (−1) 2 - 1 + 3 = −1 + 2 - 1 + 3 = 3.

Výber najväčšej z výsledných hodnôt r... Toto je r(−1) = 3.

Odpoveď: 3

Problém 8

Nájdite najväčšiu funkčnú hodnotu r= 36 tg X − 36X+ 9π + 7 na segmente [−π / 4; π / 4].

Na segmente [−π / 4; π / 4], daná funkcia je definovaná a spojitá (pozri graf tg X).

y "= 36 _____ 1 cos 2 X − 36 + 0;

y " neexistuje pre cos X = 0, X n = _ π 2· N, n Є Z. Žiadny z týchto bodov nie je zahrnutý v intervale [−π / 4; π / 4].

y "= 0 pri cos 2 X= 1, cos X= ± 1, X k = πk, k Є Z. Segment [−π / 4; π / 4] patrí iba bod X 0 = 0.

Určte hodnoty funkcie v tomto bode a na koncoch segmentu.
r(X) = 36 tg X − 36X+ 9π + 7
r(0) = 36tg0 - 36 0 + 9π + 7 = 0 - 0 + 9π + 7 ≈ 9 3,14 + 7 = 35,26
r(−π / 4) = 36 tg (−π / 4) - 36 (−π / 4) + 9π + 7 = 36 (−1) + 9π + 9π + 7 = −29 + 18π ≈ −29 + 18 3,14 = 27,52
r(π / 4) = 36 tg (π / 4) - 36 π / 4 + 9π + 7 = 36 1 - 9π + 9π + 7 = 43.
Najväčšie z týchto čísel je 43.

Odpoveď: 43

Komentár: Pri rozlišovaní pamätajte na to, že π je rovnaká konštanta ako akékoľvek iné číslo. Preto π "= 0.

Problém 9

Nájdite najväčšiu funkčnú hodnotu r = 2X 2 − 13X+ 9ln X + 8 na segmente [ 13 __ 14 ; 15 __ 14 ] .

Funkcia je definovaná a nepretržitá pre všetkých X> 0, vrátane segmentu [ 13 __ 14 ; 15 __ 14 ].

y " = 4X- 13 + 9 1 _ X + 0 = 4X 2 − 13X + 9 ___________ X

y " neexistuje pre X= 0. Tento bod nie je zahrnutý v uvedenom intervale. Nepovažujeme to.

y "= 0 pre 4 X 2 − 13X + 9 = 0
Túto kvadratickú rovnicu vyriešime pomocou diskriminátora, nájdeme korene X 1 = 1, X 2 = 9/4 = 2,25.

X 1 = 1 je stred daného segmentu, X 2 = 2,25 nepatrí do segmentu. Musíte teda určiť hodnoty funkcie y (13/14), y (1) a y (15/14) a navzájom ich porovnať. V tomto prípade však môže byť výpočet hodnôt y (13/14) a y (15/14) príliš ťažkopádny a s najväčšou pravdepodobnosťou môže viesť k chybám. Jednoduchšie je vrátiť sa k štúdiu správania derivátu v blízkosti nájdeného extrémneho bodu.

y " je zlomok, ktorého menovateľ je na segmente kladný. To znamená, že znamienko derivátu na tomto segmente závisí iba od čitateľa, t.j. definovaný znakom štvorcovej trojčlenky 4 X 2 − 13X + 9. Graf tejto štvorcovej trinomie je parabola s vetvami smerujúcimi nahor (4> 0), pretínajúcimi os x na dvoch bodoch X 1 a X 2. „Ručne“ nakreslíme náčrt tohto grafu a vidíme to vľavo od koreňa X 1 štvorcový trinomiál, čo znamená, že celá derivácia bude mať znamienko „+“ a napravo - znamienko „ -“.
Záver: funkcia špecifikovaná v problémovom vyhlásení pre daný segment vľavo X 1 = 1 sa zvyšuje, vpravo - klesá. Tento bod je maximálnym bodom vo vnútri segmentu, hodnota funkcie v ňom bude najväčšia.

Definujeme to
r(X) = 2X 2 − 13X+ 9ln X + 8
r(1) = 2 1 2 - 13 1 + 9 ln1 + 8 = 2 - 13 + 9 0 + 8 = −3.

Odpoveď: −3) = X 2 + 25 ______ X ;

r(1) = 1 2 + 25 ______ 1 = 26;

r(5) = 5 2 + 25 ______ 5 = 10;

r(10) = 10 2 + 25 _______ 10 = 12,5.

Najmenšia hodnota r(5) = 10.

Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y = (7x ^ 2-56x + 56) e ^ x na segmente [-3; 2].

Zobraziť riešenie

Riešenie

Nájdite deriváciu pôvodnej funkcie podľa vzorca pre deriváciu produktu y "=(7x ^ 2-56x + 56) "e ^ x \, + (7x ^ 2-56x + 56) \ vľavo (e ^ x \ vpravo) "= (14x-56) e ^ x + (7x ^ 2-56x + 56) e ^ x = (7x ^ 2-42x) e ^ x = 7x (x-6) e ^ x. Vypočítajme nuly derivátu: y "= 0;

7x (x-6) e ^ x = 0,

x_1 = 0, x_2 = 6.

Usporiadajme znaky derivácie a definujme intervaly monotónnosti pôvodnej funkcie na danom segmente.

Obrázok ukazuje, že na segmente [-3; 0], pôvodná funkcia sa v intervale zvyšuje a znižuje. Teda najväčšia hodnota v segmente [-3; 2] sa dosiahne pri x = 0 a rovná sa y (0) = 7 \ cdot 0 ^ 2-56 \ cdot 0 + 56 = 56.

Odpoveď

Podmienka

Nájdite v segmente najväčšiu hodnotu funkcie y = 12x-12tg x-18 \ vľavo.

Zobraziť riešenie

Riešenie

y "= (12x) " - 12 (tg x)" - (18) "= 12- \ frac (12) (\ cos ^ 2x) = \ frac (12 \ cos ^ 2x-12) (\ cos ^ 2x) \ leqslant0. To znamená, že pôvodná funkcia sa v uvažovanom intervale nezvyšuje a nadobúda najväčšiu hodnotu na ľavom konci segmentu, to znamená v x = 0. Najvyššia hodnota je y (0) = 12 \ cdot 0-12 tg (0) -18 = -18.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. Úroveň profilu “. Ed. LF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Podmienka

Nájdite minimálny bod funkcie y = (x + 8) ^ 2e ^ (x + 52).

Zobraziť riešenie

Riešenie

Minimálny bod funkcie nájdeme pomocou derivátu. Nájdeme deriváciu danej funkcie pomocou vzorcov pre deriváciu produktu, deriváciu x ^ \ alpha a e ^ x:

y "(x) = \ left ((x + 8) ^ 2 \ right) "e ^ (x + 52) + (x + 8) ^ 2 \ left (e ^ (x + 52) \ right)" = 2 (x + 8) e ^ (x + 52) + (x + 8) ^ 2e ^ (x + 52) = (x + 8) e ^ (x + 52) (2 + x + 8) = (x + 8) (x + 10) e ^ (x + 52).

Usporiadajme znaky derivácie a definujme intervaly monotónnosti pôvodnej funkcie. e ^ (x + 52)> 0 pre akékoľvek x. y "= 0 pre x = -8, x = -10.

Obrázok ukazuje, že funkcia y = (x + 8) ^ 2e ^ (x + 52) má jediný minimálny bod x = -8.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. Úroveň profilu “. Ed. LF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Podmienka

Nájdite maximálny bod funkcie y = 8x- \ frac23x ^ \ tfrac32-106.

Zobraziť riešenie

Riešenie

ODZ: x \ geqslant 0. Nájdite deriváciu pôvodnej funkcie:

y "= 8- \ frac23 \ cdot \ frac32x ^ \ tfrac12 = 8- \ sqrt x.

Vypočítame nuly derivátu:

8- \ sqrt x = 0;

\ sqrt x = 8;

x = 64.

Usporiadajme znaky derivácie a definujme intervaly monotónnosti pôvodnej funkcie.

Z obrázku je zrejmé, že bod x = 64 je jediným maximálnym bodom danej funkcie.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. Úroveň profilu “. Ed. LF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Podmienka

Nájdite na segmente najmenšiu hodnotu funkcie y = 5x ^ 2-12x + 2 \ ln x + 37 \ vľavo [\ frac35; \ frac75 \ right].

Zobraziť riešenie

Riešenie

ODZ: x> 0.

Nájdeme deriváciu pôvodnej funkcie:

y "(x) = 10x-12 + \ frac (2) (x) = \ frac (10x ^ 2-12x + 2) (x).

Definujme nuly derivátu: y "(x) = 0;

\ frac (10x ^ 2-12x + 2) (x) = 0,

5x ^ 2-6x + 1 = 0,

x_ (1,2) = \ frac (3 \ pm \ sqrt (3 ^ 2-5 \ cdot1)) (5) = \ frac (3 \ pm2) (5),

x_1 = \ frac15 \ notin \ left [\ frac35; \ frac75 \ right],

x_2 = 1 \ v \ vľavo [\ frac35; \ frac75 \ right].

Usporiadajme znaky derivácie a definujme intervaly monotónnosti pôvodnej funkcie na uvažovanom intervale.

Obrázok to ukazuje na segmente \ vľavo [\ frac35; 1 \ vpravo] pôvodná funkcia klesá a na intervale \ vľavo zvyšuje. Teda najmenšia hodnota v segmente \ vľavo [\ frac35; \ frac75 \ right] sa dosiahne pri x = 1 a rovná sa y (1) = 5 \ cdot 1 ^ 2-12 \ cdot 1 + 2 \ ln 1 + 37 = 30.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku-2017. Úroveň profilu “. Ed. LF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Podmienka

Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y = (x + 4) ^ 2 (x + 1) +19 na segmente [-5; -3].

Zobraziť riešenie

Riešenie

Nájdite deriváciu pôvodnej funkcie pomocou vzorca pre deriváciu produktu.

význam

Najväčší

význam

Najmenej

Maximálny bod

Minimálny bod

Problémy nájdenia extrémnych bodov funkcie sú riešené podľa štandardnej schémy v 3 krokoch.

Krok 1... Nájdite deriváciu funkcie

• Zapamätajte si vzorce pre deriváciu elementárnej funkcie a základné pravidlá diferenciácie, aby ste našli deriváciu.

y ′ (x) = (x3−243x + 19) ′ = 3x2−243.

Krok 2... Nájdite nuly derivátu

• Vyriešte výslednú rovnicu a nájdite nuly derivátu.

3x2−243 = 0⇔x2 = 81⇔x1 = −9, x2 = 9.

Krok 3... Nájdite extrémne body

• Na určenie znakov derivátu použite metódu medzier;
• V minimálnom bode je derivácia rovná nule a mení znamienko z mínus na plus a v maximálnom bode - z plus na mínus.

Využime tento prístup na vyriešenie nasledujúceho problému:

Nájdite maximálny bod funkcie y = x3−243x + 19.

1) Nájdite deriváciu: y ′ (x) = (x3−243x + 19) ′ = 3x2−243;

2) Vyriešte rovnicu y ′ (x) = 0: 3x2−243 = 0⇔x2 = 81⇔x1 = −9, x2 = 9;

3) Derivát je kladný pre x> 9 a x<−9 и отрицательная при −9

Ako nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie

Vyriešiť problém hľadania najväčších a najmenších hodnôt funkcie nevyhnutné:

• Nájdite extrémne body funkcie na segmente (intervale).
• Nájdite hodnoty na koncoch úsečky a vyberte najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu z hodnôt v extrémnych bodoch a na koncoch úsečky.

Pomáha pri mnohých úlohách veta:

Ak je na segmente iba jeden extrémny bod a toto je minimálny bod, potom sa tam dosiahne najmenšia hodnota funkcie. Ak je to maximálny bod, potom sa tam dosiahne najvyššia hodnota.

14. Pojem a základné vlastnosti neurčitého integrálu.

Ak funkcia f(X X a k Je teda číslo

Stručne povedané: konštantu je možné vyňať z integrálneho znamienka.

Ak funkcie f(X) a g(X) majú v intervale pomocné látky X potom

Stručne povedané: integrál súčtu sa rovná súčtu integrálov.

Ak funkcia f(X) má v intervale antiderivatívum X potom pre vnútorné body tohto intervalu:

Stručne povedané: derivát integrálu sa rovná integrandu.

Ak funkcia f(X) je nepretržitý v intervale X a rozlíšiteľné vo vnútorných bodoch tohto intervalu, potom:

Stručne povedané: integrál diferenciálu funkcie sa rovná tejto funkcii plus konštanta integrácie.

Dajme presnú matematickú definíciu neurčité integrálne pojmy.

Výraz tohto druhu sa nazýva integrál funkcie f (x) , kde f (x) - integrand, ktorý je daný (známy), dx - diferenciál X , so symbolom je vždy prítomný dx .

Definícia. Neurčitý integrál volal funkciu F (x) + C obsahujúci ľubovoľnú konštantu C. ktorého diferenciál sa rovná integrand výraz f (x) dx , t.j. alebo Funkcia sa nazýva antiderivatívna funkcia... Antiderivácia funkcie je určená s konštantnou hodnotou.

Pripomeňme, že - diferenciálna funkcia a je definovaná nasledovne:

Úloha nájsť neurčitý integrál je nájsť takú funkciu, derivátčo sa rovná integrandu. Táto funkcia je určená až do konštanty, pretože derivácia konštanty sa rovná nule.

Napríklad je to známe, potom sa to ukáže , tu je ľubovoľná konštanta.

Nájdenie úlohy neurčitý integrál z funkcií nie je také jednoduché a ľahké, ako sa na prvý pohľad zdá. V mnohých prípadoch musí existovať zručnosť v práci s neurčité integrály, musí existovať skúsenosť, ktorá prichádza s praxou a neustále riešenie príkladov pre neurčité integrály. Stojí za zváženie fakt, že neurčité integrály niektoré funkcie (je ich veľa) nie sú prevzaté do elementárnych funkcií.

15. Tabuľka základných neurčitých integrálov.

Základné vzorce

16. Definitívny integrál ako limita integrálneho súčtu. Geometrický a fyzický význam integrálu.

Nech je funkcia y = ƒ (x) definovaná na segmente [a; b] a< b. Выполним следующие действия.

1. Pomocou bodov x 0 = a, x 1, x 2, ..., x n = B (x 0

2. V každom parciálnom segmente i = 1,2, ..., n zvoľte ľubovoľný bod pomocou i є a vypočítajte v ňom hodnotu funkcie, to znamená hodnotu ƒ (s i).

3. Vynásobte nájdenú hodnotu funkcie ƒ (s i) dĺžkou ∆x i = x i -x i -1 zodpovedajúceho čiastkového segmentu: ƒ (s i) ∆x i.

4. Zostavme súčet S n všetkých týchto produktov:

Súčet tvaru (35,1) sa nazýva integrálny súčet funkcie y = ƒ (x) na intervale [a; b]. Označme λ dĺžku najväčšieho čiastkového segmentu: λ = max ∆x i (i = 1,2, ..., n).

5. Nájdeme hranicu integrálneho súčtu (35,1) ako n → ∞ tak, aby λ → 0.

Ak má v tomto prípade integrálny súčet S n limit I, ktorý nezávisí od spôsobu rozdelenia segmentu [a; b] na čiastkové segmenty alebo z výberu bodov v nich, potom sa číslo I nazýva definitívny integrál funkcie y = ƒ (x) na segmente [a; b] a je takto označený

Čísla a a b sa nazývajú dolné a horné hranice integrácie, ƒ (x) - integrand, ƒ (x) dx - integrand, x - integračná premenná, segment [a; b] - oblasť (segment) integrácie.

Funkcia y = ƒ (x), pre ktorú na segmente [a; b] v tomto intervale existuje určitý integrál nazývaný integrovateľný.

Sformulujme teraz vetu o existencii určitého integrálu.

Veta 35,1 (Cauchy). Ak je funkcia y = ƒ (x) spojitá na segmente [a; b], potom určitý integrál

Všimnite si toho, že kontinuita funkcie je dostatočnou podmienkou pre jej integrovateľnosť. Určitý integrál však môže existovať pre niektoré diskontinuálne funkcie, najmä pre každú funkciu ohraničenú intervalom a majúcu na sebe konečný počet bodov diskontinuity.

Naznačme si niektoré vlastnosti určitého integrálu, ktoré priamo vyplývajú z jeho definície (35.2).

1. Určitý integrál je nezávislý na označení premennej integrácie:

Vyplýva to zo skutočnosti, že integrálny súčet (35,1) a v dôsledku toho jeho limit (35,2) nezávisí od toho, ktoré písmeno označuje argument tejto funkcie.

2. Určitý integrál s rovnakými hranicami integrácie sa rovná nule:

3. Pre akékoľvek reálne číslo c.

17. Formula Newton-Leibniz. Základné vlastnosti určitého integrálu.

Nechajte funkciu y = f (x) kontinuálne na segmente a F (x) je teda jednou z antiderivatív funkcie v tomto segmente Newton-Leibnizov vzorec: .

Newton-Leibnizov vzorec sa nazýva základný vzorec integrálneho počtu.

Na dokázanie Newtonovho-Leibnizovho vzorca potrebujeme koncept integrálu s variabilnou hornou hranicou.

Ak funkcia y = f (x) kontinuálne na segmente , potom pre argument je integrál formy funkciou hornej hranice. Označujeme túto funkciu , a táto funkcia je spojitá a rovnosť .

Skutočne zapíšeme prírastok funkcie zodpovedajúci prírastku argumentu a použijeme piatu vlastnosť určitého integrálu a dôsledok desiatej vlastnosti:

kde .

Túto rovnosť prepíšeme ako ... Ak si spomenieme na definíciu derivácie funkcie a prejdeme na limit v, dostaneme. To znamená, že je to jedna z antiderivatív funkcie y = f (x) na segmente ... Teda súbor všetkých antiderivatív F (x) možno zapísať ako , kde S Je ľubovoľná konštanta.

Poďme počítať F (a) pomocou prvej vlastnosti určitého integrálu: , V dôsledku toho. Tento výsledok použijeme pri výpočte F (b): t.j. ... Táto rovnosť dáva osvedčený Newton-Leibnizov vzorec .

Prírastok funkcie je obvykle označovaný ako ... Použitím tohto zápisu má Newton-Leibnizov vzorec formu .

Aby sme mohli použiť Newton-Leibnizov vzorec, stačí poznať jedno z antiderivatív y = F (x) integrandová funkcia y = f (x) na segmente a vypočítajte prírastok tejto alternatívy k tomuto segmentu. V článku sú analyzované metódy integrácie hlavné spôsoby nachádzania antiderivatívu. Tu je niekoľko príkladov výpočtu určitých integrálov pomocou Newton-Leibnizovho vzorca na objasnenie.

Príklad.

Vypočítajte hodnotu určitého integrálu pomocou Newton-Leibnizovho vzorca.

Riešenie.

Na začiatok si všimnite, že integrand je v segmente spojitý , preto je na ňom integrovateľný. (O integrovateľných funkciách sme hovorili v časti o funkciách, pre ktoré existuje určitý integrál).

Z tabuľky neurčitých integrálov je zrejmé, že pre funkciu je množina antiderivatív pre všetky skutočné hodnoty argumentu (a teda pre) zapísaná ako ... Vezmite si antideriváciu pre C = 0: .

Teraz zostáva použiť Newton-Leibnizov vzorec na výpočet určitého integrálu: .

18. Geometrické aplikácie určitého integrálu.

GEOMETRICKÉ APLIKÁCIE URČITÉHO INTEGRÁLU

Obdĺžnikový S.K.	Funkcia, daná parametricky	Polyarnaya S.K.
Výpočet plôch rovinných útvarov
Výpočet dĺžky oblúka rovinnej krivky
Výpočet plochy otáčania

Výpočet telesného objemu

Výpočet objemu tela zo známych oblastí rovnobežných úsekov:

Objem rotačného telesa :; ...

Príklad 1... Nájdite plochu obrazca ohraničenú krivkou y = sinx, rovné čiary

Riešenie: Nájdite oblasť obrázku:

Príklad 2... Vypočítajte plochu tvaru ohraničeného čiarami

Riešenie: Nájdime úsečky priesečníkov grafov týchto funkcií. Aby sme to urobili, vyriešime sústavu rovníc

Odtiaľto nachádzame x 1 = 0, x 2 = 2,5.

19. Pojem diferenciálnych ovládačov. Diferenciálne rovnice prvého rádu.

Diferenciálnej rovnice- rovnica spájajúca hodnotu derivácie funkcie so samotnou funkciou, hodnotami nezávislej premennej, číslami (parametrami). Poradie derivátov zahrnutých v rovnici môže byť rôzne (formálne nie je ničím obmedzené). Deriváty, funkcie, nezávislé premenné a parametre môžu do rovnice vstupovať v rôznych kombináciách alebo môžu všetky, okrem aspoň jednej derivácie, úplne chýbať. Nie každá rovnica obsahujúca deriváty neznámej funkcie je diferenciálnou rovnicou. Napríklad, nie je diferenciálna rovnica.

Čiastkové diferenciálne rovnice(PDE) sú rovnice obsahujúce neznáme funkcie niekoľkých premenných a ich parciálnych derivácií. Obecnú formu týchto rovníc je možné reprezentovať ako:

kde sú nezávislé premenné a je funkciou týchto premenných. Poradie parciálnych diferenciálnych rovníc je možné určiť rovnakým spôsobom ako pre bežné diferenciálne rovnice. Ďalšou dôležitou klasifikáciou parciálnych diferenciálnych rovníc je ich rozdelenie na rovnice eliptického, parabolického a hyperbolického typu, najmä pre rovnice druhého rádu.

Bežné diferenciálne rovnice a parciálne diferenciálne rovnice možno rozdeliť na lineárne a nelineárne... Diferenciálna rovnica je lineárna, ak neznáma funkcia a jej deriváty vstupujú do rovnice iba prvého stupňa (a nie sú navzájom vynásobené). Pre takéto rovnice tvoria roztoky afinný podpriestor funkčného priestoru. Teória lineárnej DE je rozvinutá oveľa hlbšie ako teória nelineárnych rovníc. Celkový pohľad na lineárnu diferenciálnu rovnicu n-tretia objednávka:

kde p i(X) sú známe funkcie nezávislej premennej, nazývané koeficienty rovnice. Funkcia r(X) na pravej strane sa nazýva voľný člen(jediný termín nezávislý na neznámej funkcii) Dôležitou konkrétnou triedou lineárnych rovníc sú lineárne diferenciálne rovnice s konštantné koeficienty.

Podtrieda lineárnych rovníc je homogénne diferenciálne rovnice - rovnice, ktoré neobsahujú voľný výraz: r(X) = 0. Pri homogénnych diferenciálnych rovniciach je princíp superpozície splnený: jeho riešením bude aj lineárna kombinácia konkrétnych riešení takejto rovnice. Všetky ostatné lineárne diferenciálne rovnice sa nazývajú heterogénne diferenciálne rovnice.

Vo všeobecnom prípade nelineárne diferenciálne rovnice nemajú vyvinuté metódy riešenia, s výnimkou niektorých konkrétnych tried. V niektorých prípadoch (s použitím určitých aproximácií) môžu byť redukované na lineárne. Napríklad lineárna rovnica harmonického oscilátora možno považovať za aproximáciu nelineárnej rovnice matematického kyvadla pre prípad malých amplitúd, kedy r≈ hriech r.

· - homogénna diferenciálna rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientmi. Riešením je skupina funkcií, kde a sú ľubovoľnými konštantami, ktoré sú pre konkrétne riešenie určené zo samostatne špecifikovaných počiatočných podmienok. Táto rovnica opisuje najmä pohyb harmonického oscilátora s cyklickou frekvenciou 3.

Newtonov druhý zákon možno napísať vo forme diferenciálnej rovnice kde m- telesná hmotnosť, X- jeho súradnice, F(X, t) je sila pôsobiaca na telo so súradnicou X práve teraz t... Jeho riešením je trajektória telesa pôsobením uvedenej sily.

· Besselova diferenciálna rovnica je obyčajná lineárna homogénna rovnica druhého rádu s variabilnými koeficientmi: Jej riešením sú Besselove funkcie.

Príklad nejednotnej nelineárnej obyčajnej diferenciálnej rovnice 1. rádu:

V ďalšej skupine príkladov neznáma funkcia u závisí od dvoch premenných X a t alebo X a r.

Homogénna lineárna parciálna diferenciálna rovnica prvého rádu:

Jednorozmerná vlnová rovnica - homogénna lineárna parciálna diferenciálna rovnica hyperbolického typu druhého rádu s konštantnými koeficientmi, opisuje vibrácie reťazca, ak - vychýlenie reťazca v bode so súradnicou X práve teraz t a parameter a nastavuje vlastnosti reťazca:

Laplaceova rovnica v dvojrozmernom priestore je homogénna lineárna parciálna diferenciálna rovnica druhého rádu eliptického typu s konštantnými koeficientmi, ktorá vzniká v mnohých fyzikálnych problémoch mechaniky, vedenia tepla, elektrostatiky, hydrauliky:

Rovnica Korteweg - de Vries, nelineárna parciálna diferenciálna rovnica tretieho rádu opisujúca stacionárne nelineárne vlny vrátane solitónov:

20. Diferenciálne rovnice s oddeliteľnými použiteľnými. Lineárne rovnice a Bernoulliho metóda.

Lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu je rovnica, ktorá je lineárna vzhľadom na neznámu funkciu a jej deriváciu. Má to formu

Zvážte nasledujúci obrázok.

Zobrazuje graf funkcie y = x ^ 3 - 3 * x ^ 2. Uvažujme nejaký interval obsahujúci bod x = 0, napríklad od -1 do 1. Takýto interval sa nazýva aj susedstvo bodu x = 0. Ako je zrejmé z grafu, v tomto susedstve je funkcia y = x ^ 3 - 3 * x ^ 2 má najväčšiu hodnotu presne v bode x = 0.

Maximálne a minimálne funkcie

V tomto prípade sa bod x = 0 nazýva maximálny bod funkcie. Analogicky s týmto sa bod x = 2 nazýva minimálny bod funkcie y = x ^ 3 - 3 * x ^ 2. Pretože existuje také susedstvo tohto bodu, v ktorom bude hodnota v tomto bode minimálna medzi všetkými ostatnými hodnotami z tohto susedstva.

Bodka maximum funkcia f (x) sa nazýva bod x0 za predpokladu, že existuje okolie bodu x0 také, že pre všetky x, ktoré sa nerovná x0 z tohto susedstva, bude nerovnosť f (x)< f(x0).

Bodka minimum funkcia f (x) sa nazýva bod x0 za predpokladu, že existuje susedstvo s bodom x0 také, že pre všetky x, ktoré nie sú rovné x0 z tohto susedstva, platí nerovnosť f (x)> f (x0).

V bodoch maxima a minima funkcií je hodnota derivácie funkcie rovná nule. To však nie je dostatočnou podmienkou existencie v bode maxima alebo minima funkcie.

Napríklad funkcia y = x ^ 3 v bode x = 0 má deriváciu rovnajúcu sa nule. Bod x = 0 však nie je minimálnym ani maximálnym bodom funkcie. Ako viete, funkcia y = x ^ 3 sa zvyšuje pozdĺž celej číselnej osi.

Body minima a maxima teda budú vždy medzi koreňom rovnice f '(x) = 0. Ale nie všetky korene tejto rovnice budú bodmi maxima alebo minima.

Stacionárne a kritické body

Body, v ktorých je hodnota derivácie funkcie rovná nule, sa nazývajú stacionárne body. Body maxima alebo minima môžu existovať aj v bodoch, v ktorých derivácia funkcie vôbec neexistuje. Napríklad y = | x | v bode x = 0 má minimum, ale derivácia v tomto bode neexistuje. Tento bod bude kritickým bodom funkcie.

Kritickými bodmi funkcie sú body, v ktorých je derivácia nulová alebo derivácia v tomto bode neexistuje, to znamená, že funkcia v tomto bode je nediferencovateľná. Aby bolo možné nájsť maximum alebo minimum funkcie, musí byť splnená dostatočná podmienka.

Nech f (x) je nejaká funkcia diferencovateľná v intervale (a; b). Bod x0 patrí tomuto intervalu a f '(x0) = 0. Potom:

1. ak sa pri prechode stacionárnym bodom x0 zmení funkcia f (x) a jej derivácia z „plus“ na „mínus“, potom je bod x0 maximálnym bodom funkcie.

2. ak sa pri prechode stacionárnym bodom x0 zmení funkcia f (x) a jej derivácia z „mínus“ na „plus“, potom je bod x0 minimálnym bodom funkcie.