Dvojrozmerná náhodná premenná sa nazýva ( X, Y), ktorých možnými hodnotami sú dvojice čísel ( x, y). Komponenty X a Y, posudzovaný súčasne, forma systém dve náhodné premenné.
Dvojrozmernú veličinu možno geometricky interpretovať ako náhodný bod M(X; Y) na povrchu xOy alebo ako náhodný vektor OM.
Diskrétne nazývaná dvojrozmerná veličina, ktorej zložky sú diskrétne.
Nepretržitý nazývaná dvojrozmerná veličina, ktorej zložky sú spojité.
distribučný zákon Pravdepodobnosti dvojrozmernej náhodnej premennej sa nazývajú korešpondencia medzi možnými hodnotami a ich pravdepodobnosťami.
Distribučný zákon diskrétnej dvojrozmernej náhodnej premennej môže byť daný: a) vo forme dvojitej tabuľky obsahujúcej možné hodnoty a ich pravdepodobnosti; b) analyticky, napríklad vo forme distribučnej funkcie.
distribučná funkcia pravdepodobnosti dvojrozmernej náhodnej premennej sa nazýva funkcia F(x, y), definujúce pre každú dvojicu čísel (x, y) pravdepodobnosť, že X nadobúda hodnotu menšiu ako x a súčasne Y nadobúda hodnotu menšiu ako r:
F(x, y) = P(X< x, Y < y).
Geometricky možno túto rovnosť interpretovať takto: F(x, y) existuje pravdepodobnosť, že náhodný bod ( X, Y) spadá do nekonečného kvadrantu s vrcholom ( x,y) umiestnený vľavo a pod týmto vrcholom.
Niekedy sa namiesto pojmu „distribučná funkcia“ používa pojem „integrálna funkcia“.
Distribučná funkcia má nasledujúce vlastnosti:
Nehnuteľnosť 1. Hodnoty distribučnej funkcie spĺňajú dvojitú nerovnosť
0 ≤ F (x, y) ≤ 1.
Nehnuteľnosť 2. Distribučná funkcia je neklesajúca funkcia vzhľadom na každý argument:
F(x 2 , y) ≥ F(x 1 , y), ak x 2 > x 1 ,
F(x, y2) > F(x, y1), ak y2 > y1.
Nehnuteľnosť 3. Existujú limitné vzťahy:
1) F(–∞, y) = 0,
3) F(–∞, –∞) = 0,
2) F(x, –∞) = 0,
4) F(∞, ∞) = 1.
Nehnuteľnosť 4. a) o=∞ distribučná funkcia systému sa stáva distribučnou funkciou komponentu X:
F(x, ∞) = F1 (x).
b) Pre x = ∞ distribučná funkcia systému sa stáva distribučnou funkciou zložky Y:
F(∞, y) = F2 (y).
Pomocou distribučnej funkcie môžete nájsť pravdepodobnosť pádu náhodného bodu do obdĺžnika x 1< X < x 2 , y 1 < Y < у 2 :
P(x1< X < x 2 , y 1 < Y < у 2) = – .
Hustota spoločného rozdelenia pravdepodobnosti (dvojrozmerná hustota pravdepodobnosti) spojitá dvojrozmerná náhodná premenná sa nazýva druhá zmiešaná derivácia distribučnej funkcie:
Niekedy sa namiesto pojmu „dvojrozmerná hustota pravdepodobnosti“ používa pojem „diferenciálna funkcia systému“.
Hustotu spoločného rozloženia možno považovať za hranicu pomeru pravdepodobnosti pádu náhodného bodu do obdĺžnika so stranami D X a D r do oblasti tohto obdĺžnika, keď obe jeho strany majú sklon k nule; geometricky ho možno interpretovať ako plochu, ktorá je tzv distribučná plocha.
Keď poznáme hustotu distribúcie, môžeme nájsť distribučnú funkciu podľa vzorca
Pravdepodobnosť, že náhodný bod (X, Y) spadne do oblasti D, je určená rovnosťou
Dvojrozmerná hustota pravdepodobnosti má nasledujúce vlastnosti:
Nehnuteľnosť 1. Dvojrozmerná hustota pravdepodobnosti je nezáporná:
f(x,y) ≥ 0.
Nehnuteľnosť 2. Dvojitý nevlastný integrál s nekonečnými limitmi dvojrozmernej hustoty pravdepodobnosti sa rovná jednej:
Najmä, ak všetky možné hodnoty (X, Y) patria do konečnej domény D, potom
226. Rozdelenie pravdepodobnosti diskrétnej dvojrozmernej náhodnej premennej je dané:
Nájdite zákony distribúcie komponentov.
228. Je daná distribučná funkcia dvojrozmernej náhodnej premennej
Nájdite pravdepodobnosť zasiahnutia náhodného bodu ( X, Y X = 0, X= p/4, r= p/6, r= p/3.
229. Nájdite pravdepodobnosť zasiahnutia náhodného bodu ( X, Y) do obdĺžnika ohraničeného čiarami X = 1, X = 2, r = 3, r= 5, ak je známa distribučná funkcia
230. Je daná distribučná funkcia dvojrozmernej náhodnej premennej
Nájdite dvojrozmernú hustotu pravdepodobnosti systému.
231. V kruhu x2 + y2 ≤ R2 dvojrozmerná hustota pravdepodobnosti; mimo kruhu f(x, y)= 0. Nájdite: a) konštantu C; b) pravdepodobnosť zasiahnutia náhodného bodu ( X, Y) do kruhu s polomerom r= 1 so stredom v počiatku, ak R = 2.
232. V prvom kvadrante je uvedená distribučná funkcia systému dvoch náhodných veličín F(x, y) = 1 + 2 - x - 2 - y + 2 - x - y. Nájdite: a) dvojrozmernú hustotu pravdepodobnosti systému; b) pravdepodobnosť zasiahnutia náhodného bodu ( X, Y) do trojuholníka s vrcholmi A(1; 3), B(3; 3), C(2; 8).
8.2. Podmienené zákony rozdelenia pravdepodobností komponentov
diskrétna dvojrozmerná náhodná premenná
Nechajte komponenty X a Y sú diskrétne a majú nasledujúce možné hodnoty: x 1, x 2, ..., x n; y 1 , y 2 , …, ym.
Podmienená distribúcia komponentu X pri Y=yj(j zachováva rovnakú hodnotu pre všetky možné hodnoty X) sa nazýva množina podmienených pravdepodobností
p(x 1 |y j), p(x 2 |y j), …, p(x n |y j).
Podmienené rozdelenie Y je definované podobne.
Podmienené pravdepodobnosti zložiek X a Y sa vypočítajú pomocou vzorcov
Na kontrolu výpočtov je vhodné uistiť sa, že súčet pravdepodobností podmieneného rozdelenia je rovný jednej.
233. Daná diskrétna dvojrozmerná náhodná premenná ( X, Y):
Nájdite: a) zákon o podmienenom rozdelení X za predpokladu, že Y=10; b) zákon o podmienenom rozdelení Y za predpokladu, že X=6.
8.3. Hľadanie hustôt a zákonov podmienenej distribúcie
zložky spojitej dvojrozmernej náhodnej premennej
Hustota rozdelenia jednej zo zložiek sa rovná nevlastnému integrálu s nekonečnými hranicami hustoty spoločného rozdelenia systému a integračná premenná zodpovedá druhej zložke:
Tu sa predpokladá, že možné hodnoty každej zo zložiek patria do celej číselnej osi; ak možné hodnoty patria do konečného intervalu, potom sa zodpovedajúce konečné čísla považujú za limity integrácie.
Hustota podmienenej distribúcie zložky X pri danej hodnote Y=y je pomer hustoty rozloženia spoja systému k hustote rozloženia komponentu Y:
Hustota podmieneného rozdelenia zložky sa určí podobne Y:
Ak sú hustoty podmieneného rozdelenia náhodných premenných X a Y sa rovnajú ich bezpodmienečným hustotám, potom sú takéto množstvá nezávislé.
Uniforma sa nazýva rozdelenie dvojrozmernej spojitej náhodnej premennej ( X, Y) ak v oblasti, do ktorej patria všetky možné hodnoty ( x, y), hustota spoločného rozdelenia pravdepodobnosti zostáva konštantná.
235. Je daná hustota spoločného rozdelenia spojitej dvojrozmernej náhodnej premennej (X, Y).
Nájdite: a) hustotu rozloženia komponentov; b) podmienené hustoty rozloženia komponentov.
236. Hustota spoločného rozdelenia spojitej dvojrozmernej náhodnej premennej ( X, Y)
Nájdite: a) konštantný činiteľ C; b) hustota distribúcie komponentov; c) podmienené hustoty rozloženia komponentov.
237. Spojitá dvojrozmerná náhodná premenná ( X, Y) je rozmiestnená rovnomerne vo vnútri obdĺžnika so stredom symetrie v počiatku a stranami 2a a 2b rovnobežnými so súradnicovými osami. Nájdite: a) dvojrozmernú hustotu pravdepodobnosti systému; b) hustota distribúcie komponentov.
238. Spojitá dvojrozmerná náhodná premenná ( X, Y) je rovnomerne rozložená vo vnútri pravouhlého trojuholníka s vrcholmi O(0; 0), ALE(0; 8), AT(8;0). Nájdite: a) dvojrozmernú hustotu pravdepodobnosti systému; b) hustoty a hustoty podmieneného rozloženia komponentov.
8.4. Číselné charakteristiky spojitého systému
dve náhodné premenné
Keď poznáme distribučné hustoty zložiek X a Y spojitej dvojrozmernej náhodnej premennej (X, Y), môžeme nájsť ich matematické očakávania a rozptyly:
Niekedy je vhodnejšie použiť vzorce obsahujúce dvojrozmernú hustotu pravdepodobnosti (dvojité integrály sa preberajú z rozsahu možných hodnôt systému):
Počiatočný moment n k, s objednať k+s systémy ( X, Y) sa nazýva očakávanie produktu X k Y s:
nk, s = M.
najmä
n 1,0 = M(X), n 0,1 = M(Y).
Stredový moment m k, s objednať k+s systémy ( X, Y) sa nazýva matematické očakávanie súčinu odchýlok, resp k-té a s stupne:
m k, s = M ( k ∙ s ).
najmä
m 1,0 = M = 0, m 0,1 = M = 0;
m2,0 = M2 = D(X), m2,2 = M2 = D(Y);
Korelačný moment m xу systémy ( X, Y) sa nazýva centrálny moment m 1,1 poradie 1 + 1:
m xу = M( ∙).
Korelačný koeficient hodnoty X a Y sú pomerom korelačného momentu k súčinu štandardných odchýlok týchto hodnôt:
r xy = m xy / (s x s y).
Korelačný koeficient je bezrozmerná veličina a | rxy| ≤ 1. Korelačný koeficient sa používa na posúdenie tesnosti lineárneho vzťahu medzi X a Y: čím je absolútna hodnota korelačného koeficientu bližšie k jednej, tým je vzťah silnejší; čím je absolútna hodnota korelačného koeficientu bližšie k nule, tým je vzťah slabší.
koreloval dve náhodné premenné sa nazývajú, ak je ich korelačný moment odlišný od nuly.
Nekorelované dve náhodné premenné sa nazývajú, ak sa ich korelačný moment rovná nule.
Dve korelované veličiny sú tiež závislé; ak sú dve veličiny závislé, potom môžu byť korelované alebo nekorelované. Z nezávislosti dvoch veličín vyplýva ich nekorelácia, ale z nekorelácie sa stále nedá usudzovať, že tieto veličiny sú nezávislé (pri normálne rozdelených veličinách ich nezávislosť vyplýva z nekorelácie týchto veličín).
Pre spojité množstvá X a Y možno korelačný moment nájsť pomocou vzorcov:
239. Hustota spoločného rozdelenia spojitej dvojrozmernej náhodnej premennej (X, Y) je daná:
Nájdite: a) matematické očakávania; b) rozptyly zložiek X a Y.
240. Hustota spoločného rozdelenia spojitej dvojrozmernej náhodnej premennej (X, Y) je daná:
Nájdite matematické očakávania a rozptyly komponentov.
241. Hustota spoločného rozdelenia spojitej dvojrozmernej náhodnej premennej ( X, Y): f(x, y) = 2 cosx útulné na druhú 0 ≤ X≤p/4, 0 ≤ r≤p/4; mimo námestia f(x, y)= 0. Nájdite matematické očakávania komponentov.
242. Dokážte, že ak dvojrozmerná hustota pravdepodobnosti sústavy náhodných veličín ( X, Y) možno reprezentovať ako súčin dvoch funkcií, z ktorých jedna závisí iba od X, a druhý - iba z r, potom množstvá X a Y nezávislý.
243. Dokážte, že ak X a Y spojené lineárnym vzťahom Y = aX + b, potom sa absolútna hodnota korelačného koeficientu rovná jednej.
rozhodnutie. Podľa definície korelačného koeficientu,
r xy = m xy / (s x s y).
m xу = M( ∙). (*)
Poďme nájsť matematické očakávanie Y:
M(Y) = M = aM(X) + b. (**)
Dosadením (**) do (*) po elementárnych transformáciách dostaneme
m xy \u003d aM 2 \u003d ad (X) \u003d ako 2 x.
Vzhľadom na to
Y – M(Y) = (aX + b) – (aM(X) + b) = a,
nájsť rozptyl Y:
D(Y) = M2 = a2M2 = a2s2x.
Odtiaľ s y = |a|s x. Preto korelačný koeficient
Ak a> 0 teda rxy= 1; ak a < 0, то rxy = –1.
Takže | rxy| = 1, čo sa malo dokázať.
Pomerne často sa pri štúdiu náhodných premenných musíme vysporiadať s dvomi, tromi alebo dokonca viacerými náhodnými premennými. Napríklad dvojrozmerná náhodná premenná $\left(X,\ Y\right)$ bude popisovať bod zásahu projektilu, kde náhodné premenné $X,\Y$ sú úsečka a ordináta. Výkon náhodného študenta počas relácie charakterizuje $n$-rozmerná náhodná premenná $\left(X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n\right)$, kde náhodné premenné sú $X_1,\ X_2 ,\ \bodky ,\ X_n $ - toto sú známky zapisované do triednej knihy v rôznych disciplínach.
Množina $n$ náhodných premenných $\left(X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n\right)$ sa nazýva náhodný vektor. Obmedzujeme sa na veľkosť písmen $\left(X,\ Y\right)$.
Nech $X$ je diskrétna náhodná premenná s možnými hodnotami $x_1,x_2,\\bodky,\x_n$ a $Y$ je diskrétna náhodná premenná s možnými hodnotami $y_1,y_2,\\bodky, \ y_n$.
Potom môže diskrétna dvojrozmerná náhodná premenná $\left(X,\ Y\right)$ nadobúdať hodnoty $\left(x_i,\ y_j\right)$ s pravdepodobnosťou $p_(ij)=P\left( \left(X=x_i \right)\left(Y=y_j\right)\right)=P\left(X=x_i\right)P\left(Y=y_j|X=x_i\right)$. Tu $P\left(Y=y_j|X=x_i\right)$ je podmienená pravdepodobnosť, že náhodná premenná $Y$ nadobudne hodnotu $y_j$ za predpokladu, že náhodná premenná $X$ nadobudne hodnotu $x_i$.
Pravdepodobnosť, že náhodná premenná $X$ nadobudne hodnotu $x_i$, sa rovná $p_i=\sum_j(p_(ij))$. Pravdepodobnosť, že náhodná premenná $Y$ nadobudne hodnotu $y_j$, sa rovná $q_j=\sum_i(p_(ij))$.
$$P\vľavo(X=x_i|Y=y_j\vpravo)=((P\vľavo(\vľavo(X=x_i\vpravo)\vľavo(Y=y_j\vpravo)\vpravo))\nad (P\ vľavo(Y=y_j\vpravo)))=((p_(ij))\nad (q_j)).$$
$$P\vľavo(Y=y_j|X=x_i\vpravo)=((P\vľavo(\vľavo(X=x_i\vpravo)\vľavo(Y=y_j\vpravo)\vpravo))\nad (P\ vľavo(X=x_i\vpravo)))=((p_(ij))\nad (p_i)).$$
Príklad 1 . Rozdelenie dvojrozmernej náhodnej premennej je dané:
$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X\obrátená lomka Y & 2 & 3 \\
\hline
-1 & 0,15 & 0,25 \\
\hline
0 & 0,28 & 0,13 \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 \\
\hline
\end(pole)$
Definujme distribučné zákony pre náhodné premenné $X$ a $Y$. Nájdite podmienené rozdelenia náhodnej premennej $X$ pod podmienkou $Y=2$ a náhodnej premennej $Y$ za podmienky $X=0$.
Vyplňme nasledujúcu tabuľku:
$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X\obrátená lomka Y & 2 & 3 & p_i & p_(ij)/q_1 \\
\hline
-1 & 0,15 & 0,25 & 0,4 & 0,29 \\
\hline
0 & 0,28 & 0,13 & 0,41 & 0,54 \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 & 0,19 & 0,17 \\
\hline
q_j & 0,52 & 0,48 & 1 & \\
\hline
p_(ij)/p_2 & 0,68 & 0,32 & & \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 \\
\hline
\end(pole)$
Vysvetlíme si, ako sa plní tabuľka. Hodnoty prvých troch stĺpcov prvých štyroch riadkov sú prevzaté z podmienky. Súčet čísel $2$th a $3$th stĺpcov $2$th ($3$th) riadku je uvedený v $4$th stĺpci $2$th ($3$th) riadku. Súčet čísel v $2$-tom a $3$-tom stĺpci $4$-teho riadku je uvedený v $4$-tom stĺpci $4$-teho riadku.
Súčet čísel v $2$th, $3$th a $4$th riadkoch v $2$th ($3$th) stĺpci je zapísaný v $5$-tom riadku v $2$th ($3$th) stĺpci. Každé číslo v stĺpci $2$th sa vydelí $q_1=0,52$, výsledok sa zaokrúhli na dve desatinné miesta nahor a zapíše sa do stĺpca $5$th. Čísla z $2$th a $3$th stĺpca $3$th riadku sa vydelia $p_2=0,41$, výsledok sa zaokrúhli na dve desatinné miesta nahor a zapíše sa do posledného riadku.
Potom zákon rozdelenia náhodnej premennej $X$ má nasledujúci tvar.
$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X & -1 & 0 & 1 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,41 & 0,19 \\
\hline
\end(pole)$
Zákon rozdelenia náhodnej premennej $Y$.
$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
Y & 2 & 3 \\
\hline
q_j & 0,52 & 0,48 \\
\hline
\end(pole)$
Podmienené rozdelenie náhodnej premennej $X$ pod podmienkou $Y=2$ má nasledujúci tvar.
$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X & -1 & 0 & 1 \\
\hline
p_(ij)/q_1 & 0,29 & 0,54 & 0,17 \\
\hline
\end(pole)$
Podmienené rozdelenie náhodnej premennej $Y$ pod podmienkou $X=0$ má nasledujúci tvar.
$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
Y & 2 & 3 \\
\hline
p_(ij)/p_2 & 0,68 & 0,32 \\
\hline
\end(pole)$
Príklad 2 . Máme šesť ceruziek, z toho dve sú červené. Ceruzky vložíme do dvoch škatúľ. Do prvého sa vložia 2$ kúsky a do druhého dva. $X$ je počet červených ceruziek v prvom poli a $Y$ je v druhom. Napíšte distribučný zákon pre sústavu náhodných premenných $(X,\ Y)$.
Nech je diskrétna náhodná premenná $X$ počet červených ceruziek v prvom poli a diskrétna náhodná premenná $Y$ je počet červených ceruziek v druhom poli. Možné hodnoty náhodných premenných $X,\Y$ sú $X:0,\ 1,\ 2$, $Y:0,\ 1,\ 2$. Potom môže diskrétna dvojrozmerná náhodná premenná $\left(X,\ Y\right)$ nadobúdať hodnoty $\left(x,\ y\right)$ s pravdepodobnosťou $P=P\left(\left( X=x\vpravo) \krát \ľavý(Y=y\vpravo)\vpravo)=P\ľavý (X=x\vpravo)\krát P\ľavý (Y=y|X=x\vpravo)$, kde $P\left(Y =y|X=x\right)$ - podmienená pravdepodobnosť, že náhodná premenná $Y$ nadobudne hodnotu $y$ za predpokladu, že náhodná premenná $X$ nadobudne hodnotu $x$. Predstavme si korešpondenciu medzi hodnotami $\left(x,\y\right)$ a pravdepodobnosťami $P\left(\left(X=x\right)\times \left(Y=y\right) \right)$ podľa nasledujúcich tabuliek.
$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X\obrátená lomka Y & 0 & 1 & 2 \\
\hline
0 & ((1)\nad (15)) & ((4)\nad (15)) & ((1)\nad (15)) \\
\hline
1 & ((4)\nad (15)) & ((4)\nad (15)) & 0 \\
\hline
2 & ((1)\nad (15)) & 0 & 0 \\
\hline
\end(pole)$
Riadky takejto tabuľky označujú hodnoty $X$ a stĺpce označujú hodnoty $Y$, potom pravdepodobnosti $P\left(\left(X=x\right)\times \left(Y =y\vpravo)\vpravo)$ sú uvedené v priesečníku príslušného riadka a stĺpca. Vypočítajme pravdepodobnosti pomocou klasickej definície pravdepodobnosti a vety o súčine pravdepodobností závislých udalostí.
$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=0\right)\right)=((C^2_4)\over (C^2_6))\cdot ((C^2_2) \over (C^2_4))=((6)\over (15))\cdot ((1)\over (6))=((1)\over (15));$$
$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=1\right)\right)=((C^2_4)\over (C^2_6))\cdot ((C^1_2\ cdot C^1_2)\over (C^2_4))=((6)\over (15))\cdot ((2\cdot 2)\over (6))=((4)\over (15)) ;$$
$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=2\right)\right)=((C^2_4)\over (C^2_6))\cdot ((C^2_2) \over (C^2_4))=((6)\over (15))\cdot ((1)\over (6))=((1)\over (15));$$
$$P\left(\left(X=1\right)\left(Y=0\right)\right)=((C^1_2\cdot C^1_4)\over (C^2_6))\cdot ( (C^2_3)\over (C^2_4))=((2\cdot 4)\over (15))\cdot ((3)\over (6))=((4)\over (15)) ;$$
$$P\left(\left(X=1\right)\left(Y=1\right)\right)=((C^1_2\cdot C^1_4)\over (C^2_6))\cdot ( (C^1_1\cdot C^1_3)\over (C^2_4))=((2\cdot 4)\over (15))\cdot ((1\cdot 3)\over (6))=(( 4)\over(15));$$
$$P\left(\left(X=2\right)\left(Y=0\right)\right)=((C^2_2)\over (C^2_6))\cdot ((C^2_4) \over (C^2_4))=((1)\over (15))\cdot 1=((1)\over (15)).$$
Keďže v zákone o rozdelení (výslednej tabuľke) tvorí celý súbor udalostí ucelenú skupinu udalostí, súčet pravdepodobností by sa mal rovnať 1. Overme si to:
$$\sum_(i,\ j)(p_(ij))=((1)\nad (15))+((4)\nad (15))+((1)\nad (15))+ ((4)\viac ako (15))+((4)\viac ako (15))+((1)\viac ako (15))=1,$$
Distribučná funkcia dvojrozmernej náhodnej premennej
distribučná funkcia Dvojrozmerná náhodná premenná $\left(X,\ Y\right)$ je funkcia $F\left(x,\ y\right)$, ktorá sa pre akékoľvek reálne čísla $x$ a $y$ rovná pravdepodobnosť dvoch udalostí $ \left\(X< x\right\}$ и $\left\{Y < y\right\}$. Таким образом, по определению
$$F\left(x,\y\right)=P\left\(X< x,\ Y < y\right\}.$$
Pre diskrétnu dvojrozmernú náhodnú premennú sa distribučná funkcia nájde súčtom všetkých pravdepodobností $p_(ij)$, pre ktoré $x_i< x,\ y_j < y$, то есть
$$F\left(x,\y\right)=\sum_(x_i< x}{\sum_{y_j < y}{p_{ij}}}.$$
Vlastnosti distribučnej funkcie dvojrozmernej náhodnej premennej.
1 . Distribučná funkcia $F\left(x,\ y\right)$ je ohraničená, teda $0\le F\left(x,\ y\right)\le 1$.
2 . $F\left(x,\ y\right)$ neklesajúci pre každý z jeho argumentov s druhým pevným, t.j. $F\left(x_2,\ y\right)\ge F\left(x_1,\ y\ vpravo )$ za $x_2>x_1$, $F\left(x,\ y_2\right)\ge F\left(x,\ y_1\right)$ za $y_2>y_1$.
3 . Ak aspoň jeden z argumentov nadobudne hodnotu $-\infty $, potom sa distribučná funkcia bude rovnať nule, t.j. $F\left(-\infty ,\ y\right)=F\left(x,\ - \infty \right ),\ F\left(-\infty ,\ -\infty \right)=0$.
4 . Ak oba argumenty nadobúdajú hodnotu $+\infty $, potom sa distribučná funkcia bude rovnať $1$, t.j. $F\left(+\infty ,\ +\infty \right)=1$.
5 . V prípade, že práve jeden z argumentov nadobudne hodnotu $+\infty $, distribučná funkcia $F\left(x,\ y\right)$ sa stane distribučnou funkciou náhodnej premennej zodpovedajúcej druhému prvku, t.j. $ F\left(x ,\ +\infty \right)=F_1\left(x\right)=F_X\left(x\right),\ F\left (+\infty ,\y\right)=F_y\left (y\vpravo) =F_Y\vľavo(y\vpravo)$.
6 . $F\left(x,\ y\right)$ zostáva spojité pre každý z jeho argumentov, t.j.
$$(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) F\left(x,\y\right)\ )=F\left(x_0,\y\right),\ (\mathop(lim) _(y\do y_0-0) F\vľavo(x,\ y\vpravo)\ )=F\vľavo(x,\ y_0\vpravo).$$
Príklad 3 . Nech je diskrétna dvojrozmerná náhodná premenná $\left(X,\ Y\right)$ daná distribučným radom.
$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X\obrátená lomka Y & 0 & 1 \\
\hline
0 & ((1)\nad (6)) & ((2)\nad (6)) \\
\hline
1 & ((2)\nad (6)) & ((1)\nad (6)) \\
\hline
\end(pole)$
Potom distribučná funkcia:
$F(x,y)=\vľavo\(\začiatok(matica)
0,\ at\ x\le 0,\ y\le 0 \\
0,\ at\ x\le 0,\ 0< y\le 1 \\
0,\ pre\ x\le 0,\ y>1 \\
0,\ na\ 0< x\le 1,\ y\le 0 \\
((1)\over (6)),\ at\ 0< x\le 1,\ 0 < y\le 1 \\
((1)\nad (6))+((2)\nad (6))=((1)\viac ako (2)),\ keď\ 0< x\le 1,\ y>1 \\
0,\ pre\ x>1,\ y\le 0 \\
((1)\nad (6))+((2)\nad (6))=((1)\viac ako (2)),\ keď\ x>1,\ 0< y\le 1 \\
((1)\viac ako (6))+((2)\viac ako (6))+((2)\viac ako (6))+((1)\viac ako (6))=1,\ pre\ x >1,\ y>1 \\
\end(matica)\right.$
Usporiadaný pár (X , Y) náhodných premenných X a Y sa nazýva dvojrozmerná náhodná premenná alebo náhodný vektor dvojrozmerného priestoru. Dvojrozmerná náhodná premenná (X,Y) sa nazýva aj systém náhodných premenných X a Y. Množina všetkých možných hodnôt diskrétnej náhodnej premennej s ich pravdepodobnosťami sa nazýva distribučný zákon tejto náhodnej premennej. Diskrétna dvojrozmerná náhodná premenná (X, Y) sa považuje za danú, ak je známy jej distribučný zákon:
P(X=x i, Y=y j) = p ij, i=1,2...,n, j=1,2...,m
Pridelenie služby. Pomocou služby podľa daného distribučného zákona môžete nájsť:
- distribučné rady X a Y, matematické očakávanie M[X], M[Y], rozptyl D[X], D[Y];
- kovariancia cov(x,y), korelačný koeficient r x,y , podmienený distribučný rad X, podmienené očakávanie M;
Poučenie. Zadajte rozmer matice rozdelenia pravdepodobnosti (počet riadkov a stĺpcov) a jej tvar. Výsledné riešenie sa uloží do súboru programu Word.
Príklad č. 1. Dvojrozmerná diskrétna náhodná premenná má distribučnú tabuľku:
| Y/X | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 10 | 0 | 0,11 | 0,12 | 0,03 |
| 20 | 0 | 0,13 | 0,09 | 0,02 |
| 30 | 0,02 | 0,11 | 0,08 | 0,01 |
| 40 | 0,03 | 0,11 | 0,05 | q |
rozhodnutie. Hodnotu q nájdeme z podmienky Σp ij = 1
Σp ij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0,91 + q = 1. Odkiaľ q = 0,09
Pomocou vzorca ∑P(x i,y j) = p i(j=1..n), nájdite distribučný rad X.
M[y] = 1*0,05 + 2*0,46 + 3*0,34 + 4*0,15 = 2,59
Disperzia D[Y] = 1 2 *0.05 + 2 2 *0.46 + 3 2 *0.34 + 4 2 *0.15 - 2.59 2 = 0.64
Smerodajná odchýlkaσ(y) = sqrt(D[Y]) = sqrt(0,64) = 0,801
kovariancia cov(X,Y) = M - M[X] M[Y] = 2 10 0,11 + 3 10 0,12 + 4 10 0,03 + 2 20 0,13 + 3 20 0,09 + 4 20 0,02 + 1 30 20 302 + 1 30 2 302 + 3 30 0,08 + 4 30 0,01 + 1 40 0,03 + 2 40 0,11 + 3 40 0,05 + 4 40 0,09 - 25,2 2,59 = -0,068
Korelačný koeficient rxy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0,068/(11,531*0,801) = -0,00736
Príklad 2. Údaje štatistického spracovania informácií o dvoch ukazovateľoch X a Y sú premietnuté do korelačnej tabuľky. Požadovaný:
- zapíšte distribučné série pre X a Y a vypočítajte priemery vzoriek a vzorové štandardné odchýlky pre ne;
- zapíšte podmienené distribučné rady Y/x a vypočítajte podmienené priemery Y/x;
- graficky znázornite závislosť podmienených priemerov Y/x od hodnôt X;
- vypočítajte výberový korelačný koeficient Y na X;
- napíšte vzorovú rovnicu priamej regresie;
- reprezentovať geometricky údaje z korelačnej tabuľky a zostaviť regresnú priamku.
Množina všetkých možných hodnôt diskrétnej náhodnej premennej s ich pravdepodobnosťami sa nazýva distribučný zákon tejto náhodnej premennej.
Diskrétna dvojrozmerná náhodná premenná (X,Y) sa považuje za danú, ak je známy jej distribučný zákon:
P(X=x i, Y=y j) = p ij, i=1,2...,n, j=1,2...,m
| X/Y | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
| 11 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 16 | 4 | 6 | 0 | 0 | 0 |
| 21 | 0 | 3 | 6 | 2 | 0 |
| 26 | 0 | 0 | 45 | 8 | 4 |
| 31 | 0 | 0 | 4 | 6 | 7 |
| 36 | 0 | 0 | 0 | 0 | 3 |
1. Závislosť náhodných veličín X a Y.
Nájdite distribučné série X a Y.
Pomocou vzorca ∑P(x i,y j) = p i(j=1..n), nájdite distribučný rad X. Matematické očakávania M[Y].
M[y] = (20*6 + 30*9 + 40*55 + 50*16 + 60*14)/100 = 42,3
Disperzia D[Y].
D[Y] = (20 2 * 6 + 30 2 * 9 + 40 2 * 55 + 50 2 * 16 + 60 2 * 14)/100 - 42,3 2 = 99,71
Smerodajná odchýlka σ(y).
Pretože P(X=11,Y=20) = 2≠2 6, potom náhodné premenné X a Y závislý.
2. Zákon o podmienenom rozdelení X.
Zákon podmieneného rozdelenia X(Y=20).
P(X = 11/Y = 20) = 2/6 = 0,33
P(X=16/Y=20) = 4/6 = 0,67
P(X=21/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=26/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=31/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=36/Y=20) = 0/6 = 0
Podmienené očakávanie M = 11*0,33 + 16*0,67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14,33
Podmienený rozptyl D = 11 2 *0,33 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14,33 2 = 5,56
Zákon podmieneného rozdelenia X(Y=30).
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0,67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0,33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
Podmienené očakávanie M = 11*0 + 16*0,67 + 21*0,33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17,67
Podmienený rozptyl D = 11 2 *0 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0,33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17,67 2 = 5,56
Zákon podmieneného rozdelenia X(Y=40).
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0,11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0,82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0,0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
Podmienené očakávanie M = 11*0 + 16*0 + 21*0,11 + 26*0,82 + 31*0,0727 + 36*0 = 25,82
Podmienený rozptyl D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,11 + 26 2 *0,82 + 31 2 *0,0727 + 36 2 *0 - 25,82 2 = 4,51
Zákon podmieneného rozdelenia X(Y=50).
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0,13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0,5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0,38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
Podmienené očakávanie M = 11*0 + 16*0 + 21*0,13 + 26*0,5 + 31*0,38 + 36*0 = 27,25
Podmienený rozptyl D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,13 + 26 2 *0,5 + 31 2 *0,38 + 36 2 *0 - 27,25 2 = 10,94
Zákon podmieneného rozdelenia X(Y=60).
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0,29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0,5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0,21
Podmienené očakávanie M = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0,29 + 31*0,5 + 36*0,21 = 30,64
Podmienený rozptyl D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0,29 + 31 2 *0,5 + 36 2 *0,21 - 30,64 2 = 12,37
3. Zákon o podmienenom rozdelení Y.
Zákon podmieneného rozdelenia Y(X=11).
P(Y=20/X=ll) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=ll) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=ll) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=ll) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=ll) = 0/2 = 0
Podmienené očakávanie M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Podmienený rozptyl D = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 20 2 = 0
Zákon podmieneného rozdelenia Y(X=16).
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0,4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0,6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
Podmienené očakávanie M = 20*0,4 + 30*0,6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
Podmienený rozptyl D = 20 2 *0,4 + 30 2 *0,6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 26 2 = 24
Zákon podmieneného rozdelenia Y(X=21).
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0,27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0,55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0,18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
Podmienené očakávanie M = 20*0 + 30*0,27 + 40*0,55 + 50*0,18 + 60*0 = 39,09
Podmienený rozptyl D = 20 2 *0 + 30 2 *0,27 + 40 2 *0,55 + 50 2 *0,18 + 60 2 *0 - 39,09 2 = 44,63
Zákon podmieneného rozdelenia Y(X=26).
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0,79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0,14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0,0702
Podmienené očakávanie M = 20*0 + 30*0 + 40*0,79 + 50*0,14 + 60*0,0702 = 42,81
Podmienený rozptyl D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,79 + 50 2 *0,14 + 60 2 *0,0702 - 42,81 2 = 34,23
Zákon podmieneného rozdelenia Y(X=31).
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0,24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0,35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0,41
Podmienené očakávanie M = 20*0 + 30*0 + 40*0,24 + 50*0,35 + 60*0,41 = 51,76
Podmienený rozptyl D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,24 + 50 2 *0,35 + 60 2 *0,41 - 51,76 2 = 61,59
Zákon podmieneného rozdelenia Y(X=36).
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
Podmienené očakávanie M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Podmienený rozptyl D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 - 60 2 = 0
kovariancia.
cov(X,Y) = M - M[X] M[Y]
cov(X,Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 4 + 40 501 3 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 25,3 42,3 = 38,11
Ak sú náhodné premenné nezávislé, ich kovariancia je nulová. V našom prípade cov(X,Y) ≠ 0.
Korelačný koeficient.
Rovnica lineárnej regresie od y do x je:
Rovnica lineárnej regresie od x do y je:
Nájdite potrebné číselné charakteristiky.
Vzorka znamená:
x = (20 (2 + 4) + 30 (6 + 3) + 40 (6 + 45 + 4) + 50 (2 + 8 + 6) + 60 (4 + 7 + 3))/100 = 42,3
y = (20 (2 + 4) + 30 (6 + 3) + 40 (6 + 45 + 4) + 50 (2 + 8 + 6) + 60 (4 + 7 + 3))/100 = 25,3
disperzie:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) )/100 - 42,3 2 = 99,71
σ 2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 - 25,3 2 = 24,01
Kde získame štandardné odchýlky:
σ x = 9,99 a σ y = 4,9
a kovariancia:
Cov(x,y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 4 + 40 10 31 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 42,3 25,3 = 38,11
Definujme korelačný koeficient:
Zapíšme si rovnice regresných priamok y(x):
a výpočtom dostaneme:
yx = 0,38x + 9,14
Zapíšme si rovnice regresných priamok x(y):
a výpočtom dostaneme:
x y = 1,59 y + 2,15
Ak zostavíme body definované tabuľkou a regresné priamky, uvidíme, že obe priamky prechádzajú bodom so súradnicami (42.3; 25.3) a body sa nachádzajú blízko regresných priamok.
Význam korelačného koeficientu.
Podľa Studentovej tabuľky s hladinou významnosti α=0,05 a stupňami voľnosti k=100-m-1 = 98 zistíme t krit:
t krit (n-m-1;α/2) = (98;0,025) = 1,984
kde m = 1 je počet vysvetľujúcich premenných.
Ak je t obs > t kritické, potom sa získaná hodnota korelačného koeficientu považuje za významnú (nulová hypotéza tvrdiaca, že korelačný koeficient sa rovná nule je zamietnutá).
Keďže t obl > t crit, zamietame hypotézu, že korelačný koeficient sa rovná 0. Inými slovami, korelačný koeficient je štatisticky významný.
Cvičenie. Počet zásahov párov hodnôt náhodných premenných X a Y v zodpovedajúcich intervaloch je uvedený v tabuľke. Z týchto údajov nájdite vzorový korelačný koeficient a vzorové rovnice priamych regresných priamok Y na X a X na Y .
rozhodnutie
Príklad. Rozdelenie pravdepodobnosti dvojrozmernej náhodnej premennej (X, Y) je dané tabuľkou. Nájdite zákony rozdelenia komponentových veličín X, Y a korelačného koeficientu p(X, Y).
Stiahnite si riešenie
Cvičenie. Dvojrozmerná diskrétna hodnota (X, Y) je daná distribučným zákonom. Nájdite distribučné zákony X a Y komponentov, kovariancie a korelačného koeficientu.
dvojrozmerné diskrétne rozdelenie náhodný
Často je výsledok experimentu opísaný niekoľkými náhodnými premennými: . Napríklad počasie na danom mieste v určitú dennú dobu možno charakterizovať nasledujúcimi náhodnými premennými: X 1 - teplota, X 2 - tlak, X 3 - vlhkosť vzduchu, X 4 - rýchlosť vetra.
V tomto prípade sa hovorí o viacrozmernej náhodnej premennej alebo o systéme náhodných premenných.
Zvážte dvojrozmernú náhodnú premennú, ktorej možné hodnoty sú dvojice čísel. Geometricky možno dvojrozmernú náhodnú premennú interpretovať ako náhodný bod v rovine.
Ak sú komponenty X a Y sú diskrétne náhodné premenné, potom je diskrétna dvojrozmerná náhodná premenná a ak X a Y sú spojité, potom je spojitá dvojrozmerná náhodná premenná.
Zákon rozdelenia pravdepodobnosti dvojrozmernej náhodnej premennej je zhoda medzi možnými hodnotami a ich pravdepodobnosťami.
Distribučný zákon dvojrozmernej diskrétnej náhodnej premennej môže byť uvedený vo forme dvojitej tabuľky (pozri tabuľku 6.1), kde je pravdepodobnosť, že zložka X nadobudol význam X i a komponent Y- význam r j .
Tabuľka 6.1.1.
|
r 1 |
r 2 |
r j |
r m |
|||
|
X 1 |
p 11 |
p 12 |
p 1j |
p 1 m |
||
|
X 2 |
p 21 |
p 22 |
p 2j |
p 2 m |
||
|
X i |
p i1 |
p i2 |
p ij |
p im |
||
|
X n |
p n1 |
p n2 |
p nj |
p nm |
Keďže udalosti tvoria kompletnú skupinu párovo nekompatibilných udalostí, súčet pravdepodobností sa rovná 1, t.j.
V tabuľke 6.1 môžete nájsť zákony rozloženia jednorozmerných komponentov X a Y.
Príklad 6.1.1 . Nájdite zákony distribúcie komponentov X a Y, ak je rozdelenie dvojrozmernej náhodnej premennej uvedené vo forme tabuľky 6.1.2.
Tabuľka 6.1.2.
Ak zafixujeme napríklad hodnotu jedného z argumentov, tak výsledné rozdelenie veličiny X sa nazýva podmienené rozdelenie. Podmienené rozdelenie je definované podobne Y.
Príklad 6.1.2 . Podľa rozdelenia dvojrozmernej náhodnej premennej uvedenej v tabuľke. 6.1.2, nájdite: a) zákon podmieneného rozdelenia komponentu X vzhľadom na to; b) zákon o podmienenom rozdelení Y za predpokladu, že.
rozhodnutie. Podmienené pravdepodobnosti komponentov X a Y vypočítané podľa vzorcov
Zákon o podmienenej distribúcii X podmienka má tvar
Kontrola: .
Distribučný zákon dvojrozmernej náhodnej premennej môže byť daný ako distribučných funkcií, ktorý určuje pre každú dvojicu čísel pravdepodobnosť, že X nadobúda hodnotu menšiu ako X a kde Y nadobúda hodnotu menšiu ako r:
Geometricky funkcia znamená pravdepodobnosť pádu náhodného bodu do nekonečného štvorca s vrcholom v bode (obr. 6.1.1).
Všimnime si vlastnosti.
- 1. Rozsah funkcie - , t.j. .
- 2. Funkcia - neklesajúca funkcia pre každý argument.
- 3. Existujú obmedzujúce vzťahy:
Pri , sa distribučná funkcia systému rovná distribučnej funkcii komponentu X, t.j. .
Podobne, .
Keď viete, môžete nájsť pravdepodobnosť náhodného bodu spadajúceho do obdĺžnika ABCD.
menovite
Príklad 6.1.3. Dvojrozmerná diskrétna náhodná premenná definovaná distribučnou tabuľkou
Nájdite distribučnú funkciu.
rozhodnutie. Hodnota v prípade diskrétnych komponentov X a Y sa zistí súčtom všetkých pravdepodobností s indexmi i a j, pre ktoré, . Potom, ak a, potom (udalosti a sú nemožné). Podobne dostaneme:
ak a potom;
ak a potom;
ak a potom;
ak a potom;
ak a potom;
ak a potom;
ak a potom;
ak a potom;
ak a potom.
Získané výsledky sú prezentované vo forme tabuľky (6.1.3) hodnôt:
Pre dvojrozmerný spojitý náhodná premenná sa zavádza pojem hustota pravdepodobnosti
Hustota geometrickej pravdepodobnosti je distribučný povrch v priestore
Dvojrozmerná hustota pravdepodobnosti má nasledujúce vlastnosti:
3. Distribučnú funkciu možno vyjadriť pomocou vzorca
4. Pravdepodobnosť zasiahnutia spojitej náhodnej premennej v oblasti sa rovná
5. V súlade s vlastnosťou (4) funkcie platia vzorce:
Príklad 6.1.4. Je daná distribučná funkcia dvojrozmernej náhodnej premennej
Množina náhodných premenných X 1 ,X 2 ,...,X str definované na formulároch pravdepodobnostného priestoru (). P- rozmerná náhodná premenná ( X 1 ,X 2 ,...,X str). Ak je ekonomický proces opísaný pomocou dvoch náhodných premenných X 1 a X 2, potom sa určí dvojrozmerná náhodná premenná ( X 1 ,X 2) alebo ( X,Y).
distribučná funkcia systémy dvoch náhodných premenných ( X,Y), považovaný za funkciu premenných
je pravdepodobnosť výskytu udalosti. 
:
Hodnoty distribučnej funkcie spĺňajú nerovnosť
Z geometrického hľadiska distribučná funkcia F(X,r) určuje pravdepodobnosť, že náhodný bod ( X,Y) spadne do nekonečného kvadrantu s vrcholom v bode ( X,pri), od začiatku ( X,Y) bude pod a naľavo od určeného vrcholu (obr. 9.1).
X,Y) v polovičnom pásme (obrázok 9.2) alebo v polovičnom pásme (obrázok 9.3) sa vyjadruje vzorcami:
resp. Pravdepodobnosť dosiahnutia hodnôt X,Y) do obdĺžnika (obr. 9.4) nájdeme podľa vzorca:
Obr.9.2 Obr.9.3 Obr.9.4
Diskrétne nazývaná dvojrozmerná veličina, ktorej zložky sú diskrétne.
distribučný zákon dvojrozmerná diskrétna náhodná premenná ( X,Y) je množina možných hodnôt ( x i, y j),
, diskrétne náhodné premenné X a Y a ich zodpovedajúce pravdepodobnosti 
charakterizujúca pravdepodobnosť, že komponent X nadobudne význam x i a zároveň komponent Y nadobudne význam y j a
Distribučný zákon dvojrozmernej diskrétnej náhodnej premennej ( X,Y) sú uvedené vo forme tabuľky. 9.1.
Tabuľka 9.1
| Ω X Ω Y | X 1 | X 2 | … | x i | … |
| r 1 | p(X 1 ,r 1) | p(X 2 ,r 1) | … | p( x i,r 1) | … |
| r 2 | p(X 1 ,r 2) | p(X 2 ,r 2) | … | p( x i,r 2) | … |
| … | … | … | … | … | … |
| y i | p(X 1 ,y i) | p(X 2 ,y i) | … | p( x i,y i) | … |
| … | … | … | … | … | … |
Nepretržitý je dvojrozmerná náhodná premenná, ktorej zložky sú spojité. Funkcia R(X,pri) rovný limitu pomeru pravdepodobnosti zásahu dvojrozmernej náhodnej premennej ( X,Y) na obdĺžnik so stranami a do oblasti tohto obdĺžnika, keď obe strany obdĺžnika majú tendenciu k nule, sa nazýva hustota rozdelenia pravdepodobnosti:
Keď poznáte hustotu distribúcie, môžete nájsť distribučnú funkciu podľa vzorca: 
Vo všetkých bodoch, kde existuje zmiešaná derivácia distribučnej funkcie druhého rádu
, hustota rozdelenia pravdepodobnosti
možno nájsť pomocou vzorca: 
Pravdepodobnosť zasiahnutia náhodného bodu ( X,pri) do oblasti D je definovaná rovnosťou: 
Pravdepodobnosť, že náhodná premenná X nadobudol význam X<х za predpokladu, že náhodná premenná Y nadobudli pevnú hodnotu Y=r, sa vypočíta podľa vzorca:
podobne,
Vzorce na výpočet hustôt podmieneného rozdelenia pravdepodobnosti komponentov X a Y :
Súbor podmienených pravdepodobností p(X 1 |y i), p(X 2 |y i), …, p(x i |y i), … spĺňa podmienku Y=y i, sa nazýva podmienené rozdelenie komponentu X pri Y=y iX,Y), kde 
Podobne aj podmienená distribúcia komponentu Y pri X = x i diskrétna dvojrozmerná náhodná premenná ( X,Y) je súbor podmienených pravdepodobností zodpovedajúcich podmienke X = x i, kde 
Počiatočný moment objednávkyk+s dvojrozmerná náhodná premenná ( X,Y
a t.j. 
.
Ak X a Y- potom diskrétne náhodné premenné 
Ak X a Y- spojité náhodné premenné teda 
Centrálny moment objednať k+s dvojrozmerná náhodná premenná ( X,Y) sa nazýva očakávanie produktov 
a 
,tie.
Ak sú jednotlivé množstvá diskrétne, potom
Ak sú jednotlivé veličiny spojité, potom
kde R(X,r) je hustota distribúcie dvojrozmernej náhodnej premennej ( X,Y).
Podmienené očakávanieY(X)at X=x(at Y=y) sa nazýva výraz v tvare:
– pre diskrétnu náhodnú premennú Y(X);
–
pre spojitú náhodnú premennú Y(X).
Matematické očakávania komponentov X a Y dvojrozmerná náhodná premenná sa vypočíta podľa vzorcov:
korelačný moment nezávislé náhodné premenné X a Y, zahrnuté v dvojrozmernej náhodnej premennej ( X,Y), sa nazýva matematické očakávanie súčinov odchýlok týchto veličín:
Korelačný moment dvoch nezávislých náhodných premenných XX,Y) sa rovná nule.
Korelačný koeficient náhodné premenné X a Y zahrnuté v dvojrozmernej náhodnej premennej ( X,Y), je pomer korelačného momentu k súčinu štandardných odchýlok týchto veličín:
Korelačný koeficient charakterizuje stupeň (tesnosť) lineárnej korelačnej závislosti medzi X a Y.Náhodné premenné, pre ktoré , sa nazývajú nekorelované.
Korelačný koeficient spĺňa tieto vlastnosti:
1. Korelačný koeficient nezávisí od jednotiek merania náhodných veličín.
2. Absolútna hodnota korelačného koeficientu nepresahuje jednu:
3. Ak potom medzi komponentmi X a Y náhodná premenná ( X, Y) existuje lineárna funkčná závislosť: 
4. Ak potom komponenty X a Y bivariačné náhodné premenné sú nekorelované.
5. Ak potom komponenty X a Y dvojrozmerné náhodné premenné sú závislé.
Rovnice M(X|Y=y)=φ( pri)a M(Y|X=x)=ψ( X) sa nazývajú regresné rovnice a nimi definované čiary sa nazývajú regresné čiary.
Úlohy
9.1. Dvojrozmerná diskrétna náhodná premenná (X, Y) podľa distribučného zákona:
Tabuľka 9.2
| Ω x Ω y | ||||
| 0,2 | 0,15 | 0,08 | 0,05 | |
| 0,1 | 0,05 | 0,05 | 0,1 | |
| 0,05 | 0,07 | 0,08 | 0,02 |
Nájdite: a) zákony rozloženia komponentov X a Y;
b) zákon o podmienenom rozdelení množstva Y pri X =1;
c) distribučná funkcia.
Zistite, či sú množstvá nezávislé X a Y. Vypočítajte pravdepodobnosť a základné číselné charakteristiky M(X),M(Y),D(X),D(Y),R(X,Y), .
rozhodnutie. a) Náhodné premenné X a Y sú definované na množine pozostávajúcej z elementárnych výsledkov, ktorá má tvar:
udalosť ( X= 1) existuje množina takých výsledkov, pre ktoré sa prvá zložka rovná 1: (1;0), (1;1), (1;2). Tieto výsledky sú nezlučiteľné. Pravdepodobnosť, že X nadobudne význam x i podľa Kolmogorovovej axiómy 3 sa rovná:
Podobne
Preto okrajová distribúcia komponentu X, môžu byť uvedené vo forme tabuľky. 9.3.
Tabuľka 9.3
b) Súbor podmienených pravdepodobností R(1;0), R(1;1), R(1;2) splnenie podmienky X=1, sa nazýva podmienené rozdelenie zložky Y pri X=1. Pravdepodobnosť hodnôt magnitúdy Y pri X=1 nájdeme pomocou vzorca:
Pretože potom nahradením hodnôt zodpovedajúcich pravdepodobností získame
Takže podmienená distribúcia komponentu Y pri X=1 vyzerá takto:
Tabuľka 9.5
| y j | |||
| 0,48 | 0,30 | 0,22 |
Keďže zákony podmieneného a nepodmieneného rozdelenia sa nezhodujú (pozri tabuľky 9.4 a 9.5), potom množstvá X a Y závislý. Tento záver potvrdzuje skutočnosť, že rovnosť
pre ľubovoľný pár možných hodnôt X a Y.
Napríklad,
c) Distribučná funkcia F(X,r) dvojrozmernej náhodnej premennej (X,Y) vyzerá ako:
kde sa sčítanie vykonáva cez všetky body (), pre ktoré sú nerovnosti súčasne splnené x i
Výsledok je vhodnejšie prezentovať vo forme tabuľky 9.6.
Tabuľka 9.6
| X r | |||||
| 0,20 | 0,35 | 0,43 | 0,48 | ||
| 0,30 | 0,5 | 0,63 | 0,78 | ||
| 0,35 | 0,62 | 0,83 |
Používame vzorce pre počiatočné momenty a výsledky z tabuliek 9.3 a 9.4 a vypočítame matematické očakávania komponentov X a Y:
Disperzie sa vypočítajú cez druhý počiatočný moment a výsledky v tabuľke. 9.3 a 9.4:
Na výpočet kovariancie Komu(X, Y) používame podobný vzorec z hľadiska počiatočného momentu:
Korelačný koeficient je určený vzorcom:
Požadovaná pravdepodobnosť je definovaná ako pravdepodobnosť pádu do oblasti v rovine, definovanej príslušnou nerovnosťou:
9.2. Loď vysiela SOS správu, ktorú môžu prijať dve rádiové stanice. Tento signál môže prijímať jedna rozhlasová stanica nezávisle od druhej. Pravdepodobnosť, že signál prijme prvá rozhlasová stanica, je 0,95; pravdepodobnosť, že signál prijme druhá rozhlasová stanica, je 0,85. Nájdite distribučný zákon pre dvojrozmernú náhodnú premennú charakterizujúcu príjem signálu dvoma rádiovými stanicami. Napíšte distribučnú funkciu.
rozhodnutie: Nechať byť X– udalosť spočívajúca v tom, že signál prijíma prvá rozhlasová stanica. Y– udalosť je taká, že signál prijíma druhá rozhlasová stanica.
Veľa hodnôt .
X=1 – signál prijímaný prvou rozhlasovou stanicou;
X=0 – signál neprijal prvá rozhlasová stanica.
Veľa hodnôt .
Y=l – signál prijímaný druhou rozhlasovou stanicou,
Y=0 – signál neprijala druhá rozhlasová stanica.
Pravdepodobnosť, že signál neprijíma prvá ani druhá rozhlasová stanica, sa rovná:
Pravdepodobnosť príjmu signálu prvou rozhlasovou stanicou:
Pravdepodobnosť, že signál prijme druhá rozhlasová stanica:
Pravdepodobnosť, že signál prijme prvá aj druhá rozhlasová stanica, sa rovná: .
Potom sa zákon rozdelenia dvojrozmernej náhodnej premennej rovná:
| r X | ||
| 0,007 | 0,142 | |
| 0,042 | 0,807 |
X,r) význam F(X,r) sa rovná súčtu pravdepodobností týchto možných hodnôt náhodnej premennej ( X,Y), ktoré spadajú do určeného obdĺžnika.
Potom bude funkcia distribúcie vyzerať takto:
9.3. Dve firmy vyrábajú ten istý produkt. Každý, nezávisle od druhého, sa môže rozhodnúť modernizovať výrobu. Pravdepodobnosť, že prvá firma urobila toto rozhodnutie, je 0,6. Pravdepodobnosť takéhoto rozhodnutia druhej firmy je 0,65. Napíšte distribučný zákon dvojrozmernej náhodnej premennej charakterizujúcej rozhodnutie o modernizácii výroby dvoch firiem. Napíšte distribučnú funkciu.
odpoveď: Distribučný zákon:
| 0,14 | 0,21 | |
| 0,26 | 0,39 |
Pre každú pevnú hodnotu bodu so súradnicami ( X,r) hodnota sa rovná súčtu pravdepodobností tých možných hodnôt, ktoré spadajú do určeného obdĺžnika 
.
9.4. Piestne krúžky pre motory automobilov sa vyrábajú na automatickom sústruhu. Meria sa hrúbka prsteňa (náhodná hodnota X) a priemer otvoru (náhodná hodnota Y). Je známe, že približne 5 % všetkých piestnych krúžkov je chybných. Okrem toho 3 % nepodarkov sú spôsobené neštandardnými priemermi otvorov, 1 % – neštandardnej hrúbke a 1 % – sa vyraďuje z oboch dôvodov. Nájsť: spoločné rozdelenie dvojrozmernej náhodnej premennej ( X,Y); jednorozmerné rozdelenie komponentov X a Y;očakávania komponentov X a Y; korelačný moment a korelačný koeficient medzi komponentmi X a Y dvojrozmerná náhodná premenná ( X,Y).
odpoveď: Distribučný zákon:
| 0,01 | 0,03 | |
| 0,01 | 0,95 |
; 
; 
; 
; ; .
9.5. Vo výrobe továrne manželstvo kvôli defektu ALE je 4 %, a to z dôvodu poruchy AT- 3,5 %. Štandardná produkcia je 96%. Určte, aké percento všetkých produktov má chyby oboch typov.
9.6.
Náhodná hodnota ( X,Y) distribuované s konštantnou hustotou 
vnútri námestia R, ktorého vrcholy majú súradnice (–2;0), (0;2), (2;0), (0;–2). Určite hustotu distribúcie náhodnej premennej ( X,Y) a hustoty podmieneného rozdelenia R(X\pri), R(pri\X).
rozhodnutie. Stavajme na rovine X 0r daný štvorec (obr. 9.5) a pomocou rovnice priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi určte rovnice strán štvorca ABCD: 
Nahradenie súradníc vrcholov ALE a AT získame postupne rovnicu strany AB: 
alebo
.
Podobne nájdeme rovnicu strany slnko: ;strana CD: a strany DA: . : .D X , Y) je pologuľa so stredom v počiatku polomeru R.Nájdite hustotu rozdelenia pravdepodobnosti.
odpoveď:
9.10. Je daná diskrétna dvojrozmerná náhodná premenná:
| 0,25 | 0,10 | |
| 0,15 | 0,05 | |
| 0,32 | 0,13 |
Nájdite: a) zákon o podmienenom rozdelení X, za predpokladu, že y= 10;
b) zákon o podmienenom rozdelení Y, za predpokladu, že X =10;
c) matematické očakávanie, rozptyl, korelačný koeficient.
9.11. Spojitá dvojrozmerná náhodná premenná ( X,Y) je rovnomerne rozložená vo vnútri pravouhlého trojuholníka s vrcholmi O(0;0), ALE(0;8), AT(8,0).
Nájdite: a) hustotu rozdelenia pravdepodobnosti;
