Euklidovský priestor
Euklidovský priestor(tiež Euklidovský priestor) - v pôvodnom zmysle priestor, ktorého vlastnosti sú opísané axiómami euklidovskej geometrie. V tomto prípade sa predpokladá, že priestor má rozmer 3.
V modernom zmysle, vo všeobecnejšom zmysle, môže označovať jeden z podobných a úzko súvisiacich objektov definovaných nižšie. Obvykle sa -rozmerný euklidovský priestor označuje , aj keď sa často používa nie celkom prijateľná notácia.
,v najjednoduchšom prípade ( euklidovská norma):
kde (v euklidovskom priestore si možno vždy vybrať základ, v ktorom je pravdivá práve táto najjednoduchšia verzia).
2. Metrický priestor zodpovedajúci priestoru opísanému vyššie. To znamená s metrikou zadanou vzorcom:
,Súvisiace definície
- Pod euklidovská metrika vyššie opísaná metrika môže byť chápaná rovnako ako zodpovedajúca Riemannova metrika.
- Miestna euklidovosť zvyčajne znamená, že každý dotyčnicový priestor Riemannovej variety je euklidovský priestor so všetkými nasledujúcimi vlastnosťami, napríklad možnosťou (v dôsledku hladkosti metriky) zaviesť súradnice do malého okolia bodu, v ktorom je vzdialenosť je vyjadrená (do určitého rádu), ako je opísané vyššie.
- Metrický priestor sa nazýva aj lokálne euklidovský, ak je možné naň zaviesť súradnice, v ktorých je metrika euklidovská (v zmysle druhej definície) všade (alebo aspoň v konečnej oblasti) - čo je napr. Riemannova varieta nulového zakrivenia.
Príklady
Dobrými príkladmi euklidovských priestorov sú tieto priestory:
Abstraktnejší príklad:
Variácie a zovšeobecnenia
pozri tiež
Odkazy
Nadácia Wikimedia. 2010.
Pozrite sa, čo je „euklidovský priestor“ v iných slovníkoch:
Konečne-rozmerný vektorový priestor s kladne určitým skalárnym súčinom. Je okamžitý. zovšeobecnenie obyčajného trojrozmerného priestoru. V E.p. existujú karteziánske súradnice, v ktorých je skalárny súčin (xy)vektorov x ... Fyzická encyklopédia
Priestor, ktorého vlastnosti sa študujú v euklidovskej geometrii. V širšom zmysle je euklidovský priestor n-rozmerný vektorový priestor, v ktorom je definovaný skalárny súčin... Veľký encyklopedický slovník
Euklidovský priestor- priestor, ktorého vlastnosti sú opísané axiómami euklidovskej geometrie. Zjednodušeným spôsobom môžete definovať euklidovský priestor ako priestor v rovine alebo v trojrozmernom objeme, v ktorom sú uvedené pravouhlé (karteziánske) súradnice a ... ... Začiatky moderných prírodných vied
Euklidovský priestor- pozri Viacrozmerný (nrozmerný) vektorový priestor, Vektorový (lineárny) priestor ... Ekonomický a matematický slovník
euklidovský priestor-- [L.G. Sumenko. Anglický ruský slovník informačných technológií. M .: GP TsNIIS, 2003.] Témy informačných technológií vo všeobecnosti EN Kartézsky priestor ... Technická príručka prekladateľa
Priestor, ktorého vlastnosti sa študujú v euklidovskej geometrii. V širšom zmysle je euklidovský priestor n-rozmerný vektorový priestor, v ktorom je definovaný skalárny súčin. * * * Euklidovský priestor Euklidovský… … encyklopedický slovník
Priestor, ktorého vlastnosti sa študujú v euklidovskej geometrii. V širšom zmysle E. p. nrozmerný vektorový priestor, v ktorom je definovaný skalárny súčin … Prírodná veda. encyklopedický slovník
Priestor, ktorého vlastnosti sú opísané axiómami euklidovskej geometrie. Vo všeobecnejšom zmysle je E. p. konečnorozmerný reálny vektorový priestor Rn s vnútorným súčinom (x, y), x, ktorý vo vhodne zvolených súradniciach ... ... Matematická encyklopédia
- (v matematike) priestor, ktorého vlastnosti sú opísané axiómami euklidovskej geometrie (Pozri euklidovskú geometriu). Vo všeobecnejšom zmysle sa E. p. nazýva n-rozmerný vektorový priestor, do ktorého je možné zaviesť nejaký špeciálny ... ... Veľká sovietska encyklopédia
- [pod iným gréckym menom. matematika Eukleida (Eukleides; 3. storočie pred n. l.)] priestor vrátane viacrozmerného, do ktorého je možné zadávať súradnice x1, ..., xn tak, aby vzdialenosť p (M, M) medzi bodmi M (x1 ..., x n) a M (x 1, .... xn) môže byť ... ... Veľký encyklopedický polytechnický slovník
Euklidovský priestor
T.A. Volková, T.P. Knysh.
A KVADRATICKÉ FORMY
Euklidovský priestor
St. Petersburg
Recenzent: kandidát technických vied, docent Shkadova A.R.
Euklidovský priestor a kvadratické formy: poznámky z prednášok. - Petrohrad: SPGUVK, 2012 - s.
Abstrakt prednášok je určený študentom druhého ročníka bakalárskeho smeru 010400.62 „Aplikovaná matematika a informatika“ a prvého ročníka bakalárskeho smeru 090900.62 „Informačná bezpečnosť“.
Príručka obsahuje kompletný súhrn prednášok jednej zo sekcií disciplíny "Geometria a algebra" pre smer 010400.62 a disciplíny "Algebra a geometria" pre smer 090900.62
© Štát Petrohrad
Univerzita vodných komunikácií, 2012
Mnohé vlastnosti objektov, s ktorými sa stretávame v geometrii, úzko súvisia so schopnosťou merať dĺžky segmentov a uhly medzi čiarami. V lineárnom priestore zatiaľ nie sme schopní robiť takéto merania, v dôsledku čoho sa oblasť aplikácie všeobecnej teórie lineárnych priestorov na geometriu a množstvo ďalších matematických disciplín značne zužuje. Tento problém však možno odstrániť zavedením konceptu skalárneho súčinu dvoch vektorov. Menovite, nech je lineárny -rozmerný reálny priestor. Priraďme každej dvojici vektorov reálne číslo a toto číslo zavolajme skalárny produkt vektory a ak sú splnené tieto požiadavky:
1. (komutatívny zákon).
3. pre akékoľvek skutočné.
4. pre ľubovoľný nenulový vektor.
Skalárny súčin je špeciálnym prípadom konceptu numerická funkcia dvoch vektorových argumentov t.j. funkcia, ktorej hodnoty sú čísla. Skalárnym súčinom teda môžeme nazvať takú numerickú funkciu vektorových argumentov , , ktorej hodnoty sú skutočné pre ľubovoľné hodnoty argumentov z a pre ktoré sú splnené požiadavky 1 − 4.
Zavolá sa skutočný lineárny priestor, v ktorom je definovaný bodový súčin euklidovský a bude označený .
Všimnite si, že v euklidovskom priestore sa skalárny súčin nulového vektora a ľubovoľného vektora rovná nule: . Skutočne, a podľa požiadavky 3. Za predpokladu, že to dostaneme. Preto najmä .
1. Dovoliť je obyčajný trojrozmerný priestor geometrických vektorov so spoločným pôvodom v bode . V analytickej geometrii je skalárny súčin dvoch takýchto vektorov reálne číslo rovné , kde a sú dĺžky vektorov a , a je uhol medzi vektormi , , a je dokázané, že všetky požiadavky 1 − 4 sú splnené pre toto číslo.
Nami zavedený pojem skalárneho súčinu je teda zovšeobecnením pojmu skalárny súčin geometrických vektorov.
2. Zvážte priestorovo-rozmerné riadky s reálnymi súradnicami a priraďte každému páru a takýmto riadkovým vektorom reálne číslo
Je ľahké skontrolovať, či sú pre toto číslo splnené všetky požiadavky 1 – 4:
a podobne. nakoniec
pretože aspoň jedno z čísel v je iné ako nula.
Odtiaľ vidíme, že toto číslo je skalárnym súčinom riadkových vektorov a , a priestor , po zavedení takéhoto skalárneho súčinu, sa stáva euklidovským.
3. Dovoliť byť lineárny reálny -rozmerný priestor a byť nejakým jeho základom. Priraďme každej dvojici vektorov reálne číslo. Potom sa priestor zmení na euklidovský, t.j. číslo bude skalárnym súčinom vektorov a . Naozaj:
Je dokonca možné urobiť náš priestor euklidovským iným spôsobom, napríklad by sme mohli priradiť páru vektorov , skutočné číslo
a je ľahké skontrolovať, či sú pri takomto počte splnené všetky požiadavky 1 − 4 charakterizujúce skalárny súčin. Ale keďže sme tu (s rovnakým základom) definovali inú numerickú funkciu, získame z nej ďalší euklidovský priestor s inou „definíciou miery“.
4. Nakoniec, s odkazom na rovnaký priestor , Uvažujme o číselnej funkcii , ktorá pre , je určená rovnosťou . Táto funkcia už nie je skalárnym súčinom, pretože požiadavka 4 je porušená: pre , vektor sa rovná , a . Euklidovský priestor sa teda odtiaľto nezíska.
Pomocou požiadaviek 2 a 3, ktoré sú zahrnuté v definícii skalárneho súčinu, je ľahké získať nasledujúci vzorec:
kde , sú dva ľubovoľné systémy vektorov. Teda najmä pre ľubovoľný základ a pre ľubovoľnú dvojicu vektorov , , to
kde . Výraz na pravej strane rovnosti (1) je polynóm v a a sa nazýva bilineárna forma od a (každý jeho člen je lineárny, teda prvého stupňa, relatívne aj relatívne). Bilineárna forma je tzv symetrické, ak je podmienka symetrie splnená pre každý z jeho koeficientov. teda skalárny produkt na ľubovoľnom základe je vyjadrená ako bilineárna symetrická forma v súradniciach vektorov , s reálnymi koeficientmi. To však stále nestačí. Totiž, za predpokladu , dostaneme z rovnosti (1), že
Euklidovské priestoryPrenosné Windows aplikácie na Bodrenko.com
Kapitola 4
Euklidovské priestory
Z kurzu analytickej geometrie je čitateľovi známy pojem skalárny súčin dvoch voľných vektorov a štyri hlavné vlastnosti tohto skalárneho súčinu. V tejto kapitole študujeme lineárne priestory akejkoľvek povahy, pre ktorých prvky je nejakým spôsobom (a je jedno ako) definované pravidlo, ktoré priraďuje ľubovoľným dvom prvkom číslo nazývané skalárny súčin týchto prvkov. V tomto prípade je dôležité len to, aby toto pravidlo malo rovnaké štyri vlastnosti ako pravidlo na zostavenie skalárneho súčinu dvoch voľných vektorov. Lineárne priestory, v ktorých je toto pravidlo definované, sa nazývajú euklidovské priestory. V tejto kapitole sú objasnené hlavné vlastnosti ľubovoľných euklidovských priestorov.
§ 1. Reálny euklidovský priestor a jeho najjednoduchšie vlastnosti
1. Definícia reálneho euklidovského priestoru. Reálny lineárny priestor R sa nazýva skutočný euklidovský priestor(alebo jednoducho euklidovský priestor), ak sú splnené nasledujúce dve požiadavky.
I. Existuje pravidlo, podľa ktorého sa ktorýmkoľvek dvom prvkom tohto priestoru x a y priradí reálne číslo tzv skalárny produkt týchto prvkov a označené symbolom (x, y).
P. Toto pravidlo podlieha nasledujúcim štyrom axiómam:
1°. (x, y) = (y, x) (vlastnosť posunutia alebo symetria);
2°. (x 1 + x 2, y) \u003d (x 1, y) + (x 2, y) (distributívna vlastnosť);
3°. (λ x, y) = λ (x, y) pre akékoľvek reálne λ;
4°. (x, x) > 0, ak x je nenulový prvok; (x, x) = 0, ak x je nulový prvok.
Zdôrazňujeme, že pri zavádzaní konceptu euklidovského priestoru abstrahujeme nielen od povahy skúmaných objektov, ale aj od špecifického typu pravidiel tvorby súčtu prvkov, súčinu prvku číslom, a teda aj od konkrétneho typu pravidiel pre tvorbu súčtu prvkov, súčinu prvku číslom, resp. a skalárny súčin prvkov (je len dôležité, aby tieto pravidlá spĺňali osem axióm lineárneho priestoru a štyri axiómy skalárneho súčinu).
Ak je uvedená povaha skúmaných objektov a forma uvedených pravidiel, potom sa nazýva euklidovský priestor špecifické.
Uveďme príklady konkrétnych euklidovských priestorov.
Príklad 1. Uvažujme lineárny priestor B 3 všetkých voľných vektorov. Skalárny súčin akýchkoľvek dvoch vektorov definujeme rovnakým spôsobom, ako to bolo urobené v analytickej geometrii (tj ako súčin dĺžok týchto vektorov a kosínusu uhla medzi nimi). V priebehu analytickej geometrie bola dokázaná platnosť takto definovaného skalárneho súčinu axióm 1°-4° (pozri problematiku "Analytická geometria", kap.2, §2, s.3). Preto priestor B 3 s takto definovaným skalárnym súčinom je euklidovský priestor.
Príklad 2. Uvažujme nekonečnerozmerný lineárny priestor С [a, b] všetkých funkcií x(t) definovaných a spojitých na segmente a ≤ t ≤ b. Skalárny súčin dvoch takýchto funkcií x(t) a y(t) je definovaný ako integrál (v rámci a až b) súčinu týchto funkcií
Je elementárne overiť platnosť pre takto definovaný skalárny súčin axióm 1°-4°. Skutočne, platnosť axiómy 1° je zrejmá; platnosť axióm 2° a 3° vyplýva z lineárnych vlastností určitého integrálu; platnosť axiómy 4° vyplýva zo skutočnosti, že integrál spojitej nezápornej funkcie x 2 (t) je nezáporný a zaniká až vtedy, keď je táto funkcia zhodne rovná nule na segmente a ≤ t ≤ b (viď. problém "Základy matematickej analýzy", časť I, vlastnosti 1° a 2° z bodu 1 §6 kap. 10) (t. j. je nulovým prvkom posudzovaného priestoru).
Priestor C [a, b] s takto definovaným skalárnym súčinom je teda nekonečný rozmerný euklidovský priestor.
Príklad 3. Nasledujúci príklad euklidovského priestoru dáva n-rozmerný lineárny priestor A n usporiadaných kolekcií n reálnych čísel, skalárny súčin akýchkoľvek dvoch prvkov x= (x 1 , x 2 ,...,x n) a y = (y 1 , y 2 ,...,y n), ktoré je definované rovnosťou
(x, y) = x 1 r 1 + x 2 r 2 + ... + x n r n. (4.2)
Platnosť takto definovaného skalárneho súčinu axiómy 1° je zrejmá; platnosť axióm 2° a 3° je ľahko overiteľná, stačí si pripomenúť definíciu operácií sčítania prvkov a ich násobenia číslami:
(x 1 , x 2 ,..., x n) + (y 1 , y 2 ,..., y n) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ,..., x n + y n),
λ (x 1, x 2,..., x n) = (λ x 1, λ x 2,..., λ x n);
napokon, platnosť axiómy 4° vyplýva z toho, že (x, x) = x 1 2 + x 2 2 + ...+ x n 2 je vždy nezáporné číslo a zaniká len pod podmienkou x 1 = x 2 =... = x n = 0.
Euklidovský priestor uvažovaný v tomto príklade sa často označuje symbolom E n .
Príklad 4. V tom istom lineárnom priestore A n zavedieme skalárny súčin ľubovoľných dvoch prvkov x= (x 1 , x 2 ,...,x n) a y = (y 1 , y 2 ,...,y n ) nie vzťah (4.2), ale iným, všeobecnejším spôsobom.
Na tento účel zvážte štvorcovú maticu rádu n
Pomocou matice (4.3) zostavíme homogénny polynóm druhého rádu vzhľadom na n premenných x 1 , x 2 ,..., x n
Pri pohľade do budúcnosti si všimneme, že takýto polynóm je tzv kvadratická forma(generované maticou (4.3)) (kvadratické formy sú systematicky študované v kapitole 7 tejto knihy).
Kvadratická forma (4.4) sa nazýva kladné definitívne, ak nadobúda striktne kladné hodnoty pre všetky hodnoty premenných x 1 , x 2 ,..., x n, ktoré nie sú súčasne rovné nule (v kapitole 7 tejto knihy je nevyhnutná a postačujúca podmienka pre bude indikovaná kladná definitívnosť kvadratického tvaru).
Keďže pre x 1 = x 2 = ... = x n = 0 je kvadratický tvar (4.4) zjavne rovný nule, môžeme povedať, že kladné definitívne
kvadratická forma zaniká len pod podmienkou x 1
= x 2
= ... = x n
= 0.
Požadujeme, aby matica (4.3) spĺňala dve podmienky.
1°. Vygeneroval pozitívne definitívnu kvadratickú formu (4.4).
2°. Bola symetrická (vzhľadom na hlavnú uhlopriečku), t.j. spĺňa podmienku a ik = a ki pre všetky i = 1, 2,..., n a k = I, 2,..., n .
Pomocou matice (4.3) spĺňajúcej podmienky 1° a 2° definujeme skalárny súčin ľubovoľných dvoch prvkov x= (x 1 , x 2 ,...,x n) a y = (y 1 , y 2 ,... ,y n) priestoru А n vzťahom
Je ľahké overiť platnosť pre takto definovaný skalárny súčin všetkých axióm 1°-4°. Axiómy 2° a 3° samozrejme platia pre úplne ľubovoľnú maticu (4.3); platnosť axiómy 1° vyplýva z podmienky, že matica (4.3) je symetrická a platnosť axiómy 4° z toho, že kvadratická forma (4.4), ktorá je skalárnym súčinom (x, x), je kladné definitívne.
Priestor A n so skalárnym súčinom definovaným rovnosťou (4.5), za predpokladu, že matica (4.3) je symetrická a ňou vygenerovaná kvadratická forma je pozitívne definitná, je teda euklidovský priestor.
Ak zoberieme maticu identity ako maticu (4.3), potom zo vzťahu (4.4) vznikne (4.2) a dostaneme euklidovský priestor E n uvažovaný v príklade 3.
2. Najjednoduchšie vlastnosti ľubovoľného euklidovského priestoru. Vlastnosti stanovené v tejto podsekcii platia pre úplne ľubovoľný euklidovský priestor konečných aj nekonečných rozmerov.
Veta 4.1.Nerovnosť pre ľubovoľné dva prvky x a y ľubovoľného euklidovského priestoru
(x, y ) 2 ≤ (x, x) (y, y), (4,6)
nazývaná Cauchyho-Bunyakovského nerovnosť.
Dôkaz. Pre akékoľvek reálne číslo λ na základe axiómy 4° skalárneho súčinu platí nerovnosť (λ x - y, λ x - y) > 0. Na základe axióm 1°-3° posledná nerovnosť možno prepísať ako
λ 2 (x, x) - 2 λ (x, y) + (y, y) < 0
Nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou nezápornosti posledného štvorcového trojčlenu je nekladnosť jeho diskriminantu, t. j. nerovnosť (v prípade (x, x) = 0 štvorcová trojčlenka degeneruje do lineárnej funkcie, ale v tomto prípade je prvok x nula, takže (x, y ) = 0 a platí aj nerovnosť (4.7)
(x, y ) 2 - (x, x )(y, y ) ≤ 0. (4.7)
Nerovnosť (4.6) bezprostredne vyplýva z (4.7). Veta bola dokázaná.
Našou ďalšou úlohou je zaviesť koncept v ľubovoľnom euklidovskom priestore normy(alebo dĺžka) každého prvku. Na tento účel zavedieme koncept lineárneho normovaného priestoru.
Definícia. Lineárny priestor R sa nazýva normalizované ak sú splnené nasledujúce dve požiadavky.
I. Existuje pravidlo, podľa ktorého je každému prvku x priestoru R priradené reálne číslo, tzv normou(alebo dlhý) špecifikovaného prvku a označené symbolom ||x||.
P. Toto pravidlo podlieha nasledujúcim trom axiómam:
1°. ||x|| > 0, ak x je nenulový prvok; ||x|| = 0, ak x je nulový prvok;
2°. ||λ x || = |λ| ||x|| pre ľubovoľný prvok x a akékoľvek reálne číslo λ;
3°. pre ľubovoľné dva prvky x a y platí nasledujúca nerovnosť
||x + y || ≤ ||x|| + ||y ||, (4,8)
nazývaná trojuholníková nerovnosť (alebo Minkowského nerovnosť).
Veta 4.2. Akýkoľvek euklidovský priestor je normovaný, ak je norma ktoréhokoľvek prvku x v ňom definovaná rovnosťou
Dôkaz. Stačí dokázať, že pre normu definovanú vzťahom (4.9) platia axiómy 1°-3° z definície normovaného priestoru.
Platnosť pre normu axiómy 1° bezprostredne vyplýva z axiómy 4° skalárneho súčinu. Platnosť normy axiómy 2° vyplýva takmer priamo z axióm 1° a 3° vnútorného súčinu.
Zostáva overiť platnosť axiómy 3° pre normu, t.j. nerovnosť (4.8). Budeme sa spoliehať na Cauchyho-Bunyakovského nerovnosť (4.6), ktorú prepíšeme do tvaru
Pomocou poslednej nerovnosti, axióm 1°-4° skalárneho súčinu a definície normy dostaneme
Veta bola dokázaná.
Dôsledok. V akomkoľvek euklidovskom priestore s normou prvkov definovanou vzťahom (4.9) platí pre ľubovoľné dva prvky x a y trojuholníková nerovnosť (4.8).
Ďalej poznamenávame, že v akomkoľvek skutočnom euklidovskom priestore je možné zaviesť pojem uhla medzi dvoma ľubovoľnými prvkami x a y tohto priestoru. V úplnej analógii s vektorovou algebrou budeme volať rohuφ medzi prvkami X a pri ten (meniaci sa od 0 do π) uhol, ktorého kosínus je určený vzťahom
Nami uvedená definícia uhla je správna, pretože na základe Cauchyho-Bunyakovského nerovnosti (4,7") zlomok na pravej strane poslednej rovnosti nepresahuje v absolútnej hodnote jednotku.
Ďalej súhlasíme s tým, že dva ľubovoľné prvky x a y euklidovského priestoru E budeme nazývať ortogonálnymi, ak sa skalárny súčin týchto prvkov (x, y) rovná nule (v tomto prípade kosínus uhla (φ medzi prvkami x). a y sa bude rovnať nule).
Opäť s odkazom na vektorovú algebru nazývame súčet x + y dvoch ortogonálnych prvkov x a y prepona pravouhlého trojuholníka postaveného na prvkoch x a y.
Všimnite si, že v každom euklidovskom priestore platí Pytagorova veta: druhá mocnina prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh. Pretože x a y sú ortogonálne a (x, y) = 0, na základe axióm a definície normy
||x + y || 2 = ( x+y, x+y ) = (x, x) + 2 (x, y) + (y, y) = (x, x) + (y, y) =||x|| 2 + ||y || 2.
Tento výsledok možno zovšeobecniť aj na n párových ortogonálnych prvkov x 1 , x 2 ,..., x n : ak z = x 1 + x 2 + ...+ x n , potom
||x|| 2 \u003d (x 1 + x 2 + ... + x n, x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d (x 1, x 1) + (x 2, x 2) + .... + (х n ,х n ) = ||х 1 || 2 + ||x 1 || 2 +... +||x 1 || 2.
Na záver zapíšeme normu, Cauchyho-Bunyakovského nerovnosť a trojuholníkovú nerovnosť v každom zo špecifických euklidovských priestorov uvažovaných v predchádzajúcom odseku.
V euklidovskom priestore všetkých voľných vektorov s obvyklou definíciou skalárneho súčinu sa norma vektora a zhoduje s jeho dĺžkou |a|, Cauchyho-Bunyakovského nerovnosť je redukovaná na tvar ((a,b ) 2 ≤ | a| 2 |b | 2 a trojuholníková nerovnosť - do tvaru |a + b| ≤ |a| + |b | (Ak sčítame vektory a a b podľa trojuholníkového pravidla, potom sa táto nerovnosť triviálne zníži na skutočnosť, že jedna strana trojuholníka nepresahuje súčet jeho ďalších dvoch strán).
V euklidovskom priestore С [a, b] všetkých funkcií x = x(t) spojitých na segmente a ≤ t ≤ b so skalárnym súčinom (4.1) sa norma prvku x = x(t) rovná , a Cauchyho-Bunyakovského a trojuholníkové nerovnosti majú tvar
Obe tieto nerovnosti hrajú dôležitú úlohu v rôznych odvetviach matematickej analýzy.
V euklidovskom priestore E n usporiadaných kolekciách n reálnych čísel so skalárnym súčinom (4.2) sa norma ľubovoľného prvku x = (x 1 , x 2 ,...,x n) rovná
Napokon, v euklidovskom priestore usporiadaných kolekcií n reálnych čísel so skalárnym súčinom (4.5) sa norma ľubovoľného prvku x = (x 1 , x 2 ,...,x n) rovná 0 (pripomeňme, že v tomto matica (4.3) je symetrická a generuje pozitívne definitívnu kvadratickú formu (4.4).
a Cauchyho-Bunyakovského a trojuholníkové nerovnosti majú tvar
Definícia euklidovského priestoru
Definícia 1. Reálny lineárny priestor je tzv euklidovský, ak definuje operáciu, ktorá spája ľubovoľné dva vektory X a r odtiaľto priestorové číslo, nazývané skalárny súčin vektorov X a r a označené(x,y), pre ktoré sú splnené tieto podmienky:
1. (x, y) = (y, x);
2. (x + y,z) = (x,z) + (y,z), kde z- ľubovoľný vektor patriaci do daného lineárneho priestoru;
3. (?x,y) = ? (x,y), kde ? - ľubovoľné číslo;
4. (x,x) ? 0 a (x, x) = 0 x = 0.
Napríklad v lineárnom priestore jednostĺpcových matíc skalárny súčin vektorov
možno definovať vzorcom
Euklidovský priestor dimenzií n označujú En. Všimni si existujú konečne-dimenzionálne aj nekonečne-dimenzionálne euklidovské priestory.
Definícia 2. Dĺžka (modul) vektora x v euklidovskom priestore En volal (xx) a označte to takto: |x| = (xx). Pre ľubovoľný vektor v euklidovskom priestoreexistuje dĺžka a pre nulový vektor sa rovná nule.
Násobenie nenulového vektora X za číslo , dostaneme vektor, dĺžka čo sa rovná jednej. Táto operácia sa nazýva prídelový vektor X.
Napríklad v priestore jednostĺpcových matíc dĺžka vektora možno definovať podľa vzorca: 
Cauchyho-Bunyakovského nerovnosť
Nechať x? En a y? En sú ľubovoľné dva vektory. Dokážme, že pre nich platí nasledujúca nerovnosť:
(Cauchyho-Bunyakovského nerovnosť)
Dôkaz. Nechať byť? - akékoľvek skutočné číslo. To je zrejmé (?x ? y,?x ? y) ? 0. Na druhej strane vďaka vlastnostiam skalárneho súčinu môžeme písať
Mám to
Diskriminant tejto štvorcovej trojčlenky nemôže byť kladný, t.j. , z ktorého vyplýva:
Nerovnosť bola preukázaná.
trojuholníková nerovnosť
Nechať byť X a r sú ľubovoľné vektory euklidovského priestoru En , t.j. X? en a r? en
Dokážme to 
. (Trojuholníková nerovnosť).
Dôkaz.
To je zrejmé 
Na druhej strane,.
Ak vezmeme do úvahy Cauchyho-Bunyakovského nerovnosť, získame
Trojuholníková nerovnosť je dokázaná.
Euklidovská vesmírna norma
Definícia 1 . lineárny priestor?volal metrický, Ak nejaký dva prvky tohto priestoru X a r priradené nezápornéčíslo? (x,y), nazývaná vzdialenosť medzi X a r , (? (x,y)? 0) apodmienky (axiómy):
1) ? (x,y) = 0 X = r
2) ? (x,y) = ? (y,x)(symetria);
3) pre ľubovoľné tri vektory X, r a z tento priestor? (x,y) ? ? (x,z) + ? (z,y).
Komentujte. Prvky metrického priestoru sa zvyčajne nazývajú body.
Euklidovský priestor En je navyše metrický ako vzdialenosť medzi nimi vektory x? en a y? En je možné vziať X ? r.
Čiže napríklad v priestore jednostĺpcových matíc, kde
teda
Definícia 2 . lineárny priestor?volal normalizované, ak každý vektor X z tohto priestoru, nezáporné volalo mu číslo normou X. V tomto prípade sú splnené tieto axiómy:
Je ľahké vidieť, že normovaný priestor je metrický priestor. nehnuteľnosť. Vskutku, ako vzdialenosť medzi X a r môže vziať. V euklidovskom jazykupriestor En ako norma ľubovoľného vektora x? En sa berie ako jeho dĺžka, tie. .
Euklidovský priestor En je teda metrický priestor a navyše, euklidovský priestor En je normovaný priestor.
Uhol medzi vektormi
Definícia 1
. Uhol medzi nenulovými vektormi a a b euklidovský priestorE n pomenujte číslo, pre ktoré 
Definícia 2 . vektory X a r Euklidovský priestor En volal ortogonálneľan, ak spĺňajú rovnosť (x,y) = 0.
Ak X a r sú nenulové, potom z definície vyplýva, že uhol medzi nimi je rovný
Všimnite si, že nulový vektor je podľa definície považovaný za ortogonálny k akémukoľvek vektoru.
Príklad . V geometrickom (súradnicovom) priestore?3, ktorý je špeciálny prípad euklidovského priestoru, orts i, j a k vzájomne ortogonálne.
Ortonormálny základ
Definícia 1 . Základ e1,e2 ,...,en euklidovského priestoru sa nazýva En ortogonálneľan, ak sú vektory tejto bázy párovo ortogonálne, t.j. ak
Definícia 2 . Ak sú všetky vektory ortogonálnej bázy e1, e2 ,...,en sú slobodné, t.j. e i = 1 (i = 1,2,...,n) , potom sa volá základ ortonormálny, t.j. preortonormálny základ
Veta. (na konštrukcii ortonormálneho základu)
Každý euklidovský priestor E n má ortonormálne bázy.
Dôkaz . Dokážme vetu pre tento prípad n = 3.
Nech E1 ,E2 ,E3 je nejaký ľubovoľný základ euklidovského priestoru E3 Postavme si nejaký ortonormálny základv tomto priestore.Dajme kde ? - nejaké reálne číslo, ktoré si vyberiemetakže (e1 ,e2 ) = 0, potom dostaneme
a jasne co? = 0, ak E1 a E2 sú ortogonálne, t.j. v tomto prípade e2 = E2 a , pretože toto je základný vektor.
Ak vezmeme do úvahy, že (e1 ,e2 ) = 0, dostaneme 
Je zrejmé, že ak sú el a e2 ortogonálne s vektorom E3, t.j. v tomto prípade treba brať e3 = E3 . Vektor E3? 0, pretože E1, E2 a E3 sú lineárne nezávislé,teda e3? 0.
Z vyššie uvedenej úvahy navyše vyplýva, že e3 nemôže byť zastúpené vo formulári lineárna kombinácia vektorov e1 a e2 , teda vektory e1 , e2 , e3 sú lineárne nezávislésims a sú párovo ortogonálne, preto ich možno považovať za základ euklidovskéhopriestory E3. Zostáva len normalizovať vytvorený základ, na ktorý to stačívydeľte každý zo zostrojených vektorov jeho dĺžkou. Potom dostaneme
Takže sme vybudovali základ je ortonormálny základ. Veta bola dokázaná.
Použitá metóda konštrukcie ortonormálneho základu z ľubovoľného základ je tzv ortogonalizačný proces . Všimnite si, že počas dôkazuteorém, zistili sme, že párové ortogonálne vektory sú lineárne nezávislé. Okrem ak je ortonormálny základ v En , potom pre ľubovoľný vektor x? Enexistuje len jeden rozklad
kde x1 , x2 ,..., xn sú súradnice vektora x v tejto ortonormálnej báze.
Ako
potom vynásobením skalárnej rovnosti (*)., dostaneme 
.
V nasledujúcom budeme uvažovať iba o ortonormálnych základoch, a preto pre uľahčenie ich zapisovania, nuly na vrchole základných vektorovvypadneme.
Zodpovedá takémuto vektorovému priestoru. V tomto článku bude prvá definícia považovaná za počiatočnú.
N (\displaystyle n)-rozmerný euklidovský priestor označujeme E n , (\displaystyle \mathbb (E) ^(n),)často sa používa aj zápis (ak je z kontextu zrejmé, že priestor má euklidovskú štruktúru).
Encyklopedický YouTube
1 / 5
✪ 04 - Lineárna algebra. Euklidovský priestor
✪ Neeuklidovská geometria. Časť prvá.
✪ Neeuklidovská geometria. Druhá časť
✪ 01 - Lineárna algebra. Lineárny (vektorový) priestor
✪ 8. Euklidovské priestory
titulky
Formálna definícia
Na definovanie euklidovského priestoru je najjednoduchšie brať ako základný koncept skalárneho produktu. Euklidovský vektorový priestor je definovaný ako konečnorozmerný vektorový priestor nad poľom reálnych čísel, na ktorého vektoroch je daná funkcia skutočnej hodnoty. (⋅ , ⋅) , (\displaystyle (\cdot ,\cdot),) s týmito tromi vlastnosťami:
Príklad euklidovského priestoru - súradnicový priestor R n , (\displaystyle \mathbb (R) ^(n),) pozostávajúce zo všetkých možných n-tic reálnych čísel (x 1 , x 2 , … , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n)),) skalárny súčin, v ktorom je určený vzorcom (x, y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . (\displaystyle (x,y)=\sum _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)
Dĺžky a uhly
Skalárny súčin uvedený v euklidovskom priestore je dostatočný na zavedenie geometrických pojmov dĺžky a uhla. Dĺžka vektora u (\displaystyle u) definovaný ako (u , u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u)))) a označené | u | . (\displaystyle |u|.) Pozitívna definitívnosť vnútorného súčinu zaručuje, že dĺžka nenulového vektora je nenulová a z bilinearity vyplýva, že | a u | = | a | | u | , (\displaystyle |au|=|a||u|,) to znamená, že dĺžky proporcionálnych vektorov sú úmerné.
Uhol medzi vektormi u (\displaystyle u) a v (\displaystyle v) sa určuje podľa vzorca φ = arccos ((x, y) | x | | y |) . (\displaystyle \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right).) Z kosínusovej vety vyplýva, že pre dvojrozmerný euklidovský priestor ( euklidovská rovina) táto definícia uhla sa zhoduje s obvyklou. Ortogonálne vektory, ako v trojrozmernom priestore, môžu byť definované ako vektory, ktorých uhol je rovný π 2. (\displaystyle (\frac (\pi )(2)).)
Cauchyho-Bunyakovského-Schwarzova nerovnosť a trojuholníková nerovnosť
Vo vyššie uvedenej definícii uhla zostala jedna medzera: aby arccos ((x , y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right)) bola definovaná, je potrebné, aby nerovnosť | (x, y) | x | | y | | ≤ 1. (\displaystyle \left|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.) Táto nerovnosť je skutočne splnená v ľubovoľnom euklidovskom priestore, nazýva sa to Cauchyho - Bunyakovského - Schwarzova nerovnosť. Z tejto nerovnosti zase vyplýva trojuholníková nerovnosť: | u+v | ⩽ | u | + | v | . (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.) Trojuholníková nerovnosť spolu s vlastnosťami dĺžky uvedenými vyššie znamená, že dĺžka vektora je normou v euklidovskom vektorovom priestore a funkcia d(x, y) = | x − y | (\displaystyle d(x,y)=|x-y|) definuje štruktúru metrického priestoru na euklidovskom priestore (táto funkcia sa nazýva euklidovská metrika). Najmä vzdialenosť medzi prvkami (bodmi) x (\displaystyle x) a y (\displaystyle y) súradnicový priestor R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) daný vzorcom d (x , y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i − y i) 2 . (\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\sum _(i=1)^(n) (x_(i)-y_(i))^(2))).)
Algebraické vlastnosti
Ortonormálne bázy
Dvojité priestory a operátori
Akýkoľvek vektor x (\displaystyle x) Euklidovský priestor definuje lineárny funkcionál x ∗ (\displaystyle x^(*)) na tomto priestore, vymedzenom ako x ∗ (y) = (x, y) . (\displaystyle x^(*)(y)=(x,y).) Toto zobrazenie je izomorfizmus medzi euklidovským priestorom a
